OR
(1) HOHOÆ + ++
Le second intervalle partiel compris entre = et 1 contient une seule racine réelle, qui est entièrement séparée. Quant à l'intervalle partiel de o à +, deux autres racines sônt indiquées. La série des indices 0 0 0 1 2 2 offrant la condition des trois intervalles consé- 2 ja
r et TÉ si l'un de ces quotients, ou si leur somme, surpasse ou égale la différence = des deux limites. Cette condition ayant lieu, on connaît avec certitude que les deux racines indiquées dans l'intervalle
cutifs o 1 2, on formera les quotients 2, pour connaître
de o à + sont imaginaires. En retranchant 2 de chaque indice à partir du terme 2 qui est le dernier des trois indices consécutifs O 12, On aura pour la nouvelle suite des indices 000 100. Donc l'équation proposée a une seule racine réelle entre 0,5 et 1: les
quatre autres racines sont imaginaires.
(41) On propose, pour troisième exemple, de résoudre l'équation d°— 122 + 6ox" + 1232 + 4567x— 89012 — 0.
On écrit ces fonctions
X —x— 122 + 6oxt+ 1932 + 4567x— 89012 X' —62—6oxt + 2402 + 246 x + 4567
X°=30 xt — 240 x° + 720 x° + 246
AE — 7210; et substituant les nombres
lé 104etC, O I, 10, etc.,
on trouve les résultats suivants :
D ci he in a an à
(— 10) +, — + — + — + Er) + — + — + — — (Oo) x + — + 0 + + — + CL) + — + + + + — 720 360 E Ole) ein oo 518 (10)... + + + qui abattre 5760 23040
A l'inspection de cette table on voit que toutes les racines doivent être cherchées entre les limites — ro et + 10, puisque l’une des suites a six changements , et que l’autre n'en a aucun.
La comparaison des suites (<< o) et (=> o) montre qu'il manque deux racines dans l'intervalle des limites < 0 et > 0.
Fa suite (— 1) ayant cinq changements de signe, et la suite (—10) ayant six changements de signe, l'équation a une seule racine réelle entre — 10 Et — 1.
Les suites (— 1) et (<< 0) ont le même nombre de changements de signe; par conséquertil ne peut yavoir aucuneracine entre les limites — 1 et o. Il en est de même des suites (> 0) et (1) qui ont l’une et l’autre trois changements de signes. Ainsi l’on ne peut chercher aucune racine entre les limites o et 1.
Il reste l'intervalle des limites 1 et 10, dans lequel trois racines sont indiquées. La série des indices propres à cet intervalle est
DH 0 ot.
Le premier indice que l’on trouve égal à 1, en parcourant la série des indices de droite à gauche à partir du dernier 3, est placé entre les indices o et 2. On est averti par ces trois indices consécutifs o 1 2
qu'il faut appliquer immédiatement la règle de l’article 28. On écrira 23040
üents, ou leur somme, surpasse ou égale la différence 9 des deux
donc les quotients — et , pour connaître si l’un de ces quo-
limites. Cette condition n’ayant pas lieu, on conclut que l'intervalle de 1 à 10 est trop grand pour qu’une seule opération fasse connaître la nature des racines. Mais avant de diviser cet intervalle, il faut examiner si les fonctions X' et X', qui répondent aux deux derniers des trois indices consécutifs o 1 2, n'ont point un facteur commun, et si ce facteur n’est point rendu nul par une valeur de æ comprise entre les limites. La comparaison des fonctions
360 x°— 1440 x + 1440 et 720xæ— 1440
montre qu'elles ont un facteur commun, savoir 2x— 1, et que ce facteur est rendu nul par une valeur a comprise entre 1 et 10. Le même facteur +x— 1 n’est pas commun à toutes les fonctions Der X”, X’, X : il faut en conclure, conformément à la règle de l’art. 35, que l'équation proposée manque de deux racines dans l’intervalle de 1 à 10. Par conséquent on retranchera 2 de tous les indices, depuis le dernier des trois indices consécutifs o 1 2, et l’on aura pour la nouvelle série des indices de l'intervalle compris entre r et 10
0YIFO:010!0 7:
Ainsi la séparation des racines est achevée : l'équation proposée a une racine réelle entre — 10 et 1; deux racines manquent dans l'intervalle infiniment petit compris entre <o et >0o; deux racines manquent également dans l’intervalle compris entre 1 et 10; enfin, dans ce même intervalle, l'équation a une seconde racine réelle entièrement séparée.
(42) Afin de mieux faire connaître la diversité des cas et l’usage de la règle, nous réunissons dans un seul tableau les exemples cités dans les articles précédents.
P. Art.
.Xÿ—3zxi—24x" +095x —46x—101—0 À (—1)
3 "7 2 É ha. , ..bæxi—12x— 2x" +. 190 x — 46 (o)
une racine.
une racine.
+ —— + — — X"...20x—36x°— 144 x + 190 (1): RES X"...607°—72x— 144 n + + — — + — XIV... 1202-2778 ne deux racines indiq.
7 O0 I 2 21 32 » q XV, r20 (3) ON NS hi ram r > 1.imag. 43 332 une racine.
OO) +++ + + + j - X: XX" XX 10). (13) X 5 2 . 1 — 4x — 3 x + 23—@ 0) Lu deux racines imag. + — 0 —+- 5 137. (37) X'.. ER ( | Ne règle dudoub.signe X"...122 54% (Gi) ...+ dé patine ete 10 X"...242%— 94 (a)s,. ÆRMER Eat XIE (3) PNOQQGE He de Anne:
une racine, (10)...+ + + + + / x’ +. Ce CAP € (—-10)...+ = + — 107. (14)X ...æxÿ+ox'—3xr+2—0o une racine.
125:(50) Atee Sr fe ; PROS LE Te 04 AVG et | na ST es 20 XL B | 0 : 3 deux racines indiq.
(x) POP ENT PRE DES 5 ES Fe Tr 1.1Magin.
| X:r x" x” X’ X 143. (39) X ...x#— 2x3 + {x + x —{ —0 (—=r0). = RTS X'...4xi— 3x +824: A ns ac a DRE BENQ LT AS MEN ES EE (o) … ÉSerRras n 6 8 X"...24x—6 O I 9 92 3 trois racines indiq.
XD (x) OT) 1 jee 1.deux imagin.
\ 18 14 | XIXTAMATERENTX 149. (41) À . .æ6—1225 +607 + 123% +4567x—89012—0| (—10).+—+—+—+ | X’..6x5—6oxri+240x+246x + 4567 21 NÉE ER y Lise ou ras X"..30xi— 240 x3+ 720 x° + 246 Abe ne.
X"..1902%— 720 + 14407 PME 2 + — gledudoubasigne X1"..360x°— 1440 x + 1440 fr). HET ÉEEIERES X"..720x%— 1440 O 1 2 2 2 2 3 trois racines indiq. X",.720 (10) RES ON Re imaginaires.
X°" à deux racines égales qui nesont pas racines de X.
P. Art.
