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(43) Nous avons exposé jusqu'ici la première partie de notre méthode de résolution, celle qui avait pour objet de déterminer les limites et la nature dés racines. On écrit les fonctions différentielles des divers ordres, on substitue les nombres les plus simples dans la série de ces fonctions, et l'on marque les signes des résultats. A l’inspection de ces suites on connaît les seuls intervalles où les racines doivent être cherchées. Il reste à découvrir si les racines indiquées dans un intervalle donné sont réelles , ou s’il en manque un nombre égal à 2, ou 4, ou 6, etc.; car il ne peut en manquer qu'un nombre pair. Une seconde règle résout complètement cette question, et par un procédé d’une application facile. Alors la nature et les limites des racines sont déterminées; chacune des racines réelles est placée seule dans un intervalle dont les limites sont connues. Il faut maintenant poursuivre le calcul- de chaque racine, afin de connaître tous les chiffres qui l’expriment, si le nombre en ést déterminé, ou de trouver autant de chiffres décimaux exacts qu'on peut le juger nécessaire. Cette question est l'objet de la seconde partie de la méthode. Avant de passer à cette autre recherche, nous insisterons sur une des conséquences principales des théorèmes précédents, celle qui concerne les propriétés générales des racines.
Nous avons vu, article 7, qu'en substituant dans la suite des fonctions un nombre a qui croît par degrés insensibles depuis — : jusqu'à + +, la suite des signes perd successivement tous les changements de signe qu’elle contenait. Il est évident que cette diminution du nombre des changements ne peut s’opérer que lorsque la substitution de a fait évanouir une ou plusieurs des fonctions. Ces valeurs de a dont la substitution rend une des fonctions nulle sont de deux sortes: les unes sont telles que la suite des signes ne perd aucun changement, et cela arrive parce que la même substitution qui rend nulle une des fonctions , telle que f” (x) , donne deux signes différents aux fonctions précédente et suivante, savoir f "+" (x) et f(x); les autres valeurs de a sont telles que la suite des signes perd un certain nombre de changements. Ces valeurs du nombre
substitué sont elles-mêmes de deux espèces : les unes indiquent les racines réelles, et les autres les racines imaginaires. Lorsque la substitution fait évanouir la fonction f(x) qui est le premier membre de l'équation proposée, la valeur substituée est une des racines réelles de l'équation. Lorsque la substitution d’une valeur a ne fait pas évanouir f(x), mais rend nulle une des fonctions intermédiaires f/{x), et en mème temps donne deux signes semblables aux fonctions précédente et suivante f ("+ (x) et fl (x), le nombre substitué & n'est pas une racine réelle de l'équation, mais une valeur ndicatrice de deux racines imaginaires.
Il y a donc deux espèces d’intervalles, ceux où il existe une seule racine réelle, et ceux où il manque deux racines. Ainsi les racines appelées imaginaires manquent en de certains intervalles, et non entre d’autres limites; c’est-à-dire qu'il y a de certaines limites «& et d, telles que si l’on prouve d'une manière quelconque que l’équation n’a point deux racines réelles dans cet intervalle, on est assuré par cela même que l'équation a, pour cette cause, deux racines imaginaires. La valeur éndicatrice de deux racines imaginaires cOn- Juguées est celle dont la substitution fait évanouir une des fonctions intermédiaires , et donne deux signes semblables aux fonctions précédente et suivante. Si l'équation proposée à toutes ses racines réelles, il n’existe aucune de ces valeurs éndicatrices que l’on vient de définir. Dans ce cas toute substitution qui rend nulle une des fonctions intermédiaires donne deux signes différents à la fonction qui précède et à celle qui suit. En général l'équation a autant de couples de racines imaginaires qu'il y a de ces valeurs endicatrices. Au reste plusieurs de ces mêmes valeurs peuvent être égales, soit entre elles , soit aux racines réelles.
La première partie de notre méthode de résolution numérique a proprement pour objet de marquer 1° les intervalles dont chacun content une racine réelle, 2° les intervalles dont chacun contient une valeur indicatrice des racines imaginaires. On a désigné les uns et les autres dans le tableau des équations choisies pour exemples.
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