FRERE

et l’on est assuré qu'aucune autre racine de l'équation ne se trouve dans le même intervalle, On propose de déterminer des valeurs de plus en plus approchées de cette racine, afin de connaître tous les chiffres qui l’expriment, si le nombre de ces chiffres est limité, ou de trouver autant de chiffres exacts qu'on le juge nécessaire.

Le procédé d’approximation le plus propre à faciliter le calcul des racines est celui que l’on doit à Newton, et qui est généralement connu, Îl consiste à substituer au lieu de x dans le premier membre f(x) la quantité a+ x!, a désignant la première valeur approchée, On omet dans le résultat les termes qui contiennent les puissances de x! supérieures à la première, et l'on a pour déterminer #' une équation du premier degré. En ajoutant la valeur de z' que fournit cette équation à la première valeur approchée a, on trouve une valeur plus approchée a! ; et l'on emploie cette seconde

valeur approchée «’ pour découvrir par le même procédé une troi-

‘sième valeur approchée a”. On peut continuer indéfiniment l’application de cette règle, et l’on obtient des valeurs qui convergent de plus en plus, et très-rapidement, vers la racine cherchée. Cette méthode peut être présentée sous différentes formes : nous la regardons comme un élément fondamental de l'analyse, et 1l est important d'en conserver tous les avantages. Mais elle est sujette dans l'application à des difficultés singulières, qu'il faut examiner avec beaucoup de soin, et résoudre complètement.

La première condition qu'exige l'emploi de cette règle consiste à trouver une première valeur approchée. Cette question est déja résolue par notre méthode, puisque nous connaissons, pour chaque racine réelle, deux limites «& et d entre lesquelles elle est seule comprise. Mais il reste à satisfaire à plusieurs autres conditions sans lesquelles l'opération pourrait être inexacte, et demeurerait tou- Jours confuse. Nous énoncerons d’abord les conditions dont il s’agit; ensuite nous démontrerons les règles qu’il faut suivre pour y satisfaire. |

CaJTÈER Quoique les limites données a et b ne comprennent qu’une seule racine, elles peuvent, comme on le verra plus bas, n'être pas assez voisines pour qu'il y ait lieu de procéder à l’approximation. Dans ce cas on pourrait rapprocher les limites, en subdivisant l'intervalle; mais il est nécessaire de reconnaître, par un caractère certain , que l’on est parvenu à des limites assez rapprochées.

29 Quelque petite que soit la distance des deux limites, le procédé d’approximation ne peut être appliqué avec certitude qu’à l'une de ces limites, et non à Fautre. Nous prouverons dans un des articles suivants la vérité de cette remarque. Il faut done distinguer la limite qui doit être choisie.

3° Les résultats successifs que l’on obtient sont des valeurs qui s'approchent continuellement de la racine cherchée : mais nous montrerons bientôt que ces valeurs ne sont pas alternativement plus grandes et plus petites que la racine. Cette propriété, qui appartient à d’autres modes d’approximation, n’a jamais lieu dans

l'emploi de la méthode newtonienne : les valeurs approchées et successives &, «', «”, a”, etc. sont toutes plus grandes, ou toutes plus petites que la racine. Il en résulte que l’on ignore combien chaque opération donne de chiffres exacts, et cette incertitude est la cause principale d'imperfection de la règle. On pourrait sans doute faire varier la valeur approchée jusqu'à ce que la substitution dans la fonction donnât un signe différent de celui qu’on avait trouvé d’abord; mais ces substitutions exigeraient beaucoup de caleul, et, en opérant ainsi, on perdrait l'avantage principal de la méthode , qui consiste dans la rapidité de l’'approximation. Nous résoudrons cette difficulté en assignant d’autres limites D, b', 0", 0”, ete. qui sont moindres que la racine si les précédentes a, a',a”, «”, etc. sont plus grandes , et qui au contraire surpassent la racine si les précédentes sont moindres. Parlà on est assuré que les chiffres communs à l’une et l’autre limites appartiennent à la racine cherchée, et l’on ne conserve que ces chiffres exacts. Or nous démontrons que le nombre des chiffres exacts que fournit une seule opération croît rapidement, et qu'il augmente de quantités proportionnelles aux nombres 2, 4, 8, 16, etc. de la progression double. Nous en déduisons une règle certaine pour connaître d'avance, et indépendamment du calcul des secondes limites , jusqu'où l’on peut porter l'approximation des premières.

4° On doit ordonner le calcul en sorte qu'il n’y ait point d’opérations superflues, c’est-à-dire qu’on n'ait à effectuer que les opérations qui concourent à déterminer la racine, et dont aucune ne pourrait être omise,

Nous allons examiner successivement les questions que l’on vient d'énoncer , et en expliquer la solution.

(3) Les deux limites & et b, déterminées par notre méthode, comprennent une racine réelle « de l'équation f(x) —0, et l'on est assuré qu'il n'y a dans cet intervalle aucune autre racine de la même équation, parce que la suite (a) des résultats de la substitution de a dans les fonctions f(x), f(x)... .f"(æ), f'(æ), f(x) à seulement un changement de signe de moins que la suite (b) des résul-

tats de la substitution de la limite plus grande b dans les mêmes fonctions. En omettant dans chacune de ces deux suites (a) et (b) les deux derniers résultats, qui sont pour l’une f (a), f(a), et pour l’autre f”(d), f(b), on comparera les deux limites restantes, et l’on connaîtra si l'équation f(x) — 0 peut avoir quelques racines entre les mêmes limites a et b. Or s’il existe dans cet intervalle de telles racines, c'est-à-dire des valeurs de x qui rendent nulle la fonction f”(æ), chacune de ces valeurs diffère de la racine x qui résout l'équation f(x) — 0. Il faut seulement excepter le cas singulier où les fonctions f(x) et f(x) auraient un diviseur commun 4 (x). Il est facile de juger, par l'emploi du procédé connu, si ce facteur 4 (+) existe: et, dans ce cas singulier, on aurait à résoudre séparément l'équation (x) —0. On appliquerait donc à cette équation 4(x)— 0, et non à l'équation plus composée /{x)—o, les règles qui servent à trouver les racines.

Si le facteur 4 (x) dont il s’agit n'existe pas, toute valeur qui rendrait nulle la fonction f(x) diffère de la racine de l'équation J(x)—=0. On pourra donc rapprocher les deux limites a et b, et les remplacer par deux autres 4’ et b’ assez voisines pour qu'elles comprennent entre elles, comme les précédentes, la racine « de l'équation f(x) — 0, sans comprendre aucune des racines de l'équation f(x) —0. Pour obtenir ces nouvelles limites a’ et D’, on divisera l'intervalle des deux premières & et b en substituant un nombre intermédiaire c ; et l’on connaîtra si la racine cherchée x est entre a et c, ou si elle est entre c et b. Il est évident que l’on pourra facilement continuer la subdivision de l'intervalle jusqu'à ce que l'on trouve deux nombres a’ et b' qui comprendront entre eux la racine «, sans qu'il y ait dans ce même intervalle aucune racine de l'équation f(x) = o.

On peut comparer de la même manière les deux fonctions f(&) et f(x). Si elles avaient un facteur commun o(æ), ce qui est le cas des racines égales, on résoudrait séparément l'équation ge (x) —=0. Si ce facteur @(x) n'existe pas, ou si l'équation o(x)—0 n'a aucune racine y comprise entre les limites « et b, on peut rapprocher ces

limites par la division de l'intervalle, et obtenir d’autres limites plus voisines a’ et b’, telles que l'équation f(x) — 0 ayant une seule racine dans l'intervalle de a’ et D”, l'équation f(x) —=o n'ait aucune racine dans ce même intervalle.

Il s'ensuit que dans la recherche qui a pour objet de calculer la valeur d’une racine, nous pouvons toujours supposer les deux limites données a et b telles que équation f{x) — 0 ayant une seule racine entre a et D, l'équation f'(x)—0 ne puisse avoir aucune racine dans cet intervalle, et qu'il en soit de mème de l’équation FA) = 0:

(4) I est facile de reconnaître comme il suit si ces deux conditions sont remplies. En effet les résultats des substitutions de a et de b dans les fonctions f(x), ft) (x)... f(x), f'(æ), f(x) sont déja connus par les opérations qui ont servi à déterminer les limites, et l’on a formé la série des indices propre à l'intervalle. On examinera si le dernier indice A étant 1 , les deux indices précédents sont o et o. Si cela a lieu, on est assuré que les équations f”(x) = o et J"(æ)= 0 n'ont aucune racine entre les limites a et b, et nous prouverons que ce cas est celui où l’on peut appliquer avec certitude la règle d'approximation. Mais si les trois derniers indices ne sont pas o o 1, on diminuera l'intervalle jusqu'à ce que cette condition subsiste ; ou, si cela est nécessaire , on considérera séparément les facteurs communs que nous avons désignés par (x) et o(x).

S1 les deux suites comparées

SP(a), FF (a)... fa), J'(a), f{a), FPE), F9)... f(b), FC), FC),

sont telles qu'en omettant les derniers résultats f(a) et f(b), les signes soient les mêmes, il est évident que les conditions précédentes sont remplies : car la suite terminée par f'(a) aurait autant de changements de signes que la suite terminée par f”’(b), et il en serait de même des deux suites terminées, l’une par / (a), l’autre par /"(b). Donc si les suites (a) et () diffèrent seulement par le dernier signe, il ne restera plus qu’à procéder au calcul de la

racine, On verra dans l’article suivant que cet état des deux suites ne constitue pas un cas particulier : il forme au contraire l'état général; et c’est pour cela qu’on doit considérer avec attention cette disposition des deux suites. Lorsqu'elle ne subsiste pas d’abord, on peut toujours l’établir en rapprochant les limites.

Par exemple si l'équation proposée est

on trouve, en désignant le premier membre de cette équation par f(x), que les nombres o et 10 substitués dans la suite des fonctions

La) LC, Pa) FX), Je), (x),

donnent ces résultats

COL +- + — — — O e O I L I (io). + + + + +.

Il y a une seule racine entre les limites o et 10: mais ces limites ne sont point assez approchées pour que les équations f” M0 et f (æ)— 0 n'aient aucune racine dans ce même intervalle ; car on voit en formant la série des indices, quiestoooitr, que l’équation f” (æ)—0o à une racine entre o et 10, et qu'il en est de même de l'équation f(x) — 0. Il faut donc substituer un nombre intermédiaire. Soit 1 ce nombre; on trouve les résultats suivants :

OS A Re NAT RTE SC RER O O O O O I (TO)... + + + + + +.

Ainsi la racine cherchée est entre r et 10; et ces limites sont telles que l'équation /"(x)=o et l'équation f(x) — 0 n'ont aucune racine dans ce même intervalle. C’est ce que montre la série des indices oo0o0oo1r.

(@) Nous placerons ici la démonstration de deux lemmes qui

MR dt sont d’un usage très-fréquent dans le calcul des limites et des valeurs

des racines.

1° Si les deux suites

(a)... fm (a), FM (a)... fa), f'(a), f(@) (0) EP RTE PADAIOL A BYE (D)

sont telles que chaque terme de la première ait le même signe que le terme correspondant de la seconde, la même condition aura lieu lorsqu'on substituera dans les fonctions au lieu de + un nombre intermédiaire quelconque c plus grand que & et moindre que b: chaque terme de la suite

ani pr Che Aire) Rd ÉONE re AS vas 119

aura le même signe que le terme correspondant de la suite (&). En effet le signe de f”(a) est par hypothèse le même que celui de /”’(b). Supposons que ce signe commun soit encore celui de toutes les valeurs que l'on trouve en substituant dans f(x) une valeur intermédiaire quelconque prise entre les limites a et b, en sorte que la fonction f(x) conserve son signe pour toutes les valeurs possibles de x qui tombent dans l'intervalle de @ à b. Il faudra en conclure que la fonction f(x) est toujours croissante ou toujours. décroissante dans ce même intervalle, puisque la fluxion du premier ordre f(x) conserve le même signe + ou —. Donc f'(a) ayant le même signe que f(b), et f (x) étant toujours croissante ou décroissante, cette même fonction f(x) ne pourra point devenir nulle dans ce même intervalle. Donc en substituant dans f(x) toutes les valeurs possibles comprises entre & et 8, la fonction f(x) conservera le même signe, savoir celui qui est commun à f (a) et f(b). On démontre de la même manière que si la fonction f(x) conserve son signe dans tout l'intervalle des limites « et b, et si les valeurs extrêmes f”(«) et f”(b) ont le même signe, la fonction /'(x) conservera dans le même intervalle le signe commun de f”(a) et f”(b). En appliquant cette démonstration aux parties qui sont correspondantes dans les deux séries, et qui sont de plus en plus reculées

vers la gauche, on arrivera jusqu'aux deux signes # qui précè-

dent tous les autres. Or il est évident que la fonction f(x) conserve son signe, puisqu'elle ne contient pas la variable +. Donc on est assuré qu'une fonction f(x) conserve le même signe dans un intervalle donné, lorsque ses deux valeurs extrêmes f(a) et f(b) ont le même signe, et lorsqu'il en est de même des valeurs correspondantes f”(a) et f'(b), f" (a) et f”(b), f"(a) et f'"(b), ete., que l’on trouve en substituant les limites dans les fonctions différentielles de tous les ordres. |

Les valeurs extrêmes f(a) et f(b) d'une fonction f(x) étant de même signe, 1l pourrait arriver que les valeurs de f(x) qui répondent aux valeurs intermédiaires de x changeassent de signe, en devenant nulles plusieurs fois dans l'intervalle. Mais cela ne peut avoir leu si le signe des deux valeurs extrêmes /’(a) et f'(b) est le même, et si cette condition subsiste pour toutes les autres fonctions différentielles.

2° En général si l'on a comparé les deux suites

(a)... fa), fa). fo), SO, SO, (oO) Fa C5 den (EEE FE) SE); FE) ;

et si, ayant formé la série des indices, on trouve que le dernier indice A qui répond à f(x) est o, on est assuré qu'en substituant un nombre intermédiaire c, et formant la série des indices propres à l'intervalle de & à c, et celle qui est propre à l'intervalle de c à b, le dernier terme de chacune de ces deux séries d'indices sera 0. En effet si le dernier indice A! de la série propre à l'intervalle de a à cnétait pas 0, mais égal à 7, il s'ensuivrait que la suite des résultats perd un nombre ; de changements de signe lorsque la grandeur substituée passe de la valeur & à la valeur c. Il faudrait donc qu'à partir de la valeur intermédiaire c jusqu'à la valeur extrême b, la suite des résultats pût acquérir un nombre ; de changements de signes lorsqu'on augmente par degrés insensibles les grandeurs substituées. Or nous avons reconnu que cela est impossible, car le

nombre des changements de signes ne peut que diminuer lorsqu'on augmente la quantité substituée.

On prouve de la même manière que le dernier terme de la série des indices propre à l'intervalle de c à b ne peut pas être un nombre j différent de o. Car îl faudrait que dans l'intervalle précédent la suite des résultats eût acquis un nombre 7 de changements de signe, ce qui est impossible.

Donc si les deux suites comparées (a) et (b) sont telles que le dernier terme A de la série des indices propre à l'intervalle soit o, on trouvera toujours le dernier indice égal à o si l'on divise l'intervalle par la substitution de nombres intermédiaires : chaque intervalle partiel aura zéro pour dernier indice.

Les deux lemmes que l'on vient de démontrer sont, pour ainsi dire, évidents pour le cas où la fonction contient une seule variable, qui est le seul que nous considérons ici; et le premier lemme est un cas particulier du second. I suffisait en quelque sorte d'énoncer ces deux propositions, qui sont des conséquences manifestes de la théorie précédente. Mais il a paru préférable de les développer, parce qu’elles s'appliquent aux fonctions formées d’un nombre quelconque de variables. Nous ne considérons point ici cette proposition générale, mais il serait facile de la démontrer par les mêmes principes ; c'est un élément remarquable de l'analyse algébrique.

(6) Il nous reste maintenant à prouver que si les deux limites entre lesquelles on cherche une racine ont été assez rapprochées pour que les conditions énoncées dans Particle 3 soient remplies, on peut procéder sans aucune incertitude à l'approximation. Prenons pour exemple le cas où les derniers signes des deux suites compa-

SP) PR) (ane: À + b Ex () 0 1 CPAS + cie

rées sont

et supposons que les conditions dont il s’agit ayant lieu, c'est-à-

dire que les trois derniers indices étant oo 1, il s'agit de calculer La 22

la valeur de la racine, que l’on sait être plus grande que æet moindre que b. Nous présenterons d’abord la solution analytique de la question ; ensuite nous donrerons les constructions qui s'y rapportent et rendent les résultats très-sensibles, comme on peut en juger en passant d'avance à l’article 10.

Soit 6 la quantité inconnue qu'il faut retrancher de b pour trouver exactement la racine +, en sorte que x soit égale à b 6. On a donc