HUE CE

grande que ce coefficient. Il est facile, comme on le verra dans les

articles suivants, de former cette 1e C, et d’en déduire une va-

rons par C une valeur approchée du coefficient =Z-:? ), mais plus

leur approchée C z° de la différence :.Nous montrerons aussi l’usage pratique que l’on doit faire de cette valeur approchée Cz°, pour en conclure le nombre de chiffres exacts donnés par chaque opération. Nous ne voulons ici que faire remarquer le caractère de l’approximation qui résulte de l'emploi des deux limites.

En effet si la différence b— a des deux premières est devenue une quantité fort petite, par exemple une unité décimale de septième ordre, ou (=), l'expression de z”, ou C2, montre que la différence z’ des deux nouvelles limites est de même ordre que (-5)"*. Le nombre C a une valeur une fois déterminée, qui ne change plus dans le cours de l'approximation, et les différences c,7’,&”, ete. deviennent des unités décimales d’un ordre très-élevé. Les secondes limites a et D’ pourraient encore être assez distantes, lorsque les premières a et à ont une différence considérable : mais la convergence de l’approximation devient de plus en plus rapide, et chaque opération fournit un nombre toujours croissant de chiffres exacts. Nous développerons davantage par la suite ces conséquences, et l’on reconnaîtra combien elles facilitent l’approximation.

(10) Après avoir indiqué les principes analytiques qui servent de fondement à cette recherche, nous allons faire connaître les constructions géométriques qui représentent les résultats. Ces constructions sont.très-simples, et analogues à celles qui nous ont servi pour la distinction des racines imaginaires, artiele 23 du premier livre.

Nous prendrons pour exemple le cas cité dans l’article 6, c'està-dire le cas où les derniers signes des suites comparées sont

JS), FX), Je) (a) RTE 0 O0 I

COM. nr pe

et les trois derniers indices sont les nombres oo t. L'arc mn (fig, 7) représente une partie de la ligne courbe dont

l'équation est Y=J(@).

Les abscisses o a, ob désignent les limites données a et b. Les ordonnées extrêmes am, bn sont les valeurs de f(a) et f(b). L'arc Man, qui correspond à l'intervalle ab des deux limites, n’a aucun point d’inflexion, parce que l'indice antepénultième étant o, l’équation f"(x)—=0 n'aaucune racine entre ces limites. La courbe tourne sa convexité vers la parte inférieure de la planche, parce que la fonction f"(x) conserve le signe + dans tout l'intervalle ab. La fonction f(x) conservant aussi le signe + dans cet intervalle, il s'ensuit que l'arc man est ascendant. Ainsi l’ordonnée f(x) augmente continuellement lorsque l’abscisse augmente; cette ordonnée, d’abord négative au point a, s'approche de plus en plus de zéro , et lorsqu'elle est devenue positive elle s'éloigne de zéro : il y à un seul point d'intersection de la courbe et de l'axe au point &. Supposons que par le point z on mène une tangente à la courbe, et que l’on prolonge cette tangente jusqu’au point b’ où elle rencontre l'axe, il est évident que le point 4" étant compris entre « et b, l’abscisse o d" sera une valeur plus grande que la racine, mais plus approchée de cette racine que ne l'était l’abscisse o b. Si maintenant on mène par le point » une parallèle à la tangente 2.6”, le point a’ où cette parallèle coupe l'axe étant compris entre a et +, l'abscisse o a’ sera une valeur moindre que la racine, et plus approchée de cette racine que ne l'était l’abscisse o a. Il ne reste plus qu'à exprimer les valeurs de ces nouvelles abscisses o D’ et 04. Or au point » le rapport de l'accroissement dy à l'accroissement dx, on dxf'(x) dx bb’. On a donc

, est égal au rapport de l’ordonnée nb à la sous-tangente

dæf'(b) nb __ f(E).

Un den .. = bb!

donc la ligne 2 best égale à Aro Ainsi la valeur de l'abscisse o b’ est #6)

br

ce qui est l'expression de la valeur approchée désignée par £’ dans l'article 6.

dy

Le rapport "> au point », où

l’'ordonnée a m (prise avec un signe contraire) à la partie « a’ de l'axe interceptée entre l’ordonnée et la parallèle : on a done

dxf'(b / ul est égal au rapport de

dxf”"(b) __ (a) none Etes) dan ina @no mp) Ainsi l’abscisse o a’ est égale à f(a) an:

ce qui est l'expression de la valeur approchée désignée par a’ dans l'article 8. ;

Les deux résultats de l’approximation linéaire sont done clairement représentés par cette construction. Les abscisses o a, 0b, qui correspondent aux premières limites, sont remplacées par deux autres o a et o bd’ que l’on détermine en menant par le point » une tangente à la courbe, et par le point 7 une parallèle à la tangente. Désignant ensuite par a’ et b’ les extrémités des sous-tangentes, ou plus généralement deux points dont l’un est entre a et l'extrémité a , l’autre entre b et l'extrémité D’, on marquera sur la courbe les extrémités 77° et x’ des ordonnées qui passent par les points désignés & et d”, et l'on procédera à l'égard des points #1! et x comme on à procédé pour les points » et n. Il est évident que l’on aurait pu déduire de cette seule construction la connaissance des deux

4 b (44 valeurs approchées b — 6) et a — J{a) , Que nous avons obtenue f'(e) J'(6) par le calcul , articles 6 et 7. La première de ces valeurs est celle que donne la règle newtonienne : en général cette règle consiste toujours à corriger la première valeur approchée, considérée comme une ab$cisse, en ajoutant à cette abscisse la valeur de la sous-tan- 4 J(a A , . .

gente. L'autre valeur approchée a — 7 complète l'approximation I. 29

linéaire, ou du premier degré. Nous appelons ainsi celle qui ne dépend que des fluxions du premier ordre.

(11) La construction précédente rend manifestes les conditions qu'exige l'usage de l’approximation linéaire. En effet lorsque le point Ÿ (fig. 7) est très-voisin du point d’intersection #, la tangente menée par lextrémité z de l'ordonnée bn rencontre l'axe en un point à” placé entre & et &, et la nouvelle valeur b' représentée par l’'abscisse o b'est beaucoup plus approchée que la précédente. b représentée par l’abscisse ob. Mais si la première valeur o B à laquelle le caleul s'applique correspond au point B, il est manifeste que la tangente menée par le point N peut rencontrer l'axe en un point fort, éloigné de l'intersection x. Il arrive dans ce cas que la règle newtonienne ne donne point avec certitude la valeur de la racine cherchée : elle peut conduire à des résultats très-différents de celui qui est l'objet de la question. Pour que cette incertitude n’ait point lieu, il est nécessaire que le point » extrémité de l’ordonnée bn soit moins éloigné de l'origine o que le peint d'inflexion le plus VOISIN 7.

On voit aussi que l'approximation newtonienne ne peut pas être appliquée indifféremment à la limite & et à la limite b; car la tangente menée par l'extrémité nm de l’'ordonnée am pourrait rencontrer l'axe en un point plus éloigné de l'intersection « que ne l'était le point à. Les limites oa, ob (fig. 8), entre lesquelles il se trouve un seul point d’intersection &, pourraient être assez éloignées pour qu'y eût dans cet intervalle a à plusieurs points p, p où la tangente est parallèle à l'axe, et plusieurs points d’inflexion r,r,r quiséparent un arC convexe d'un are concave. Dans ce cas on ne doit point encore faire usage de l'approximation linéaire : il faut diminuer l'intervalle jusqu'à ce que l’are qui répond au nouvel intervalle à b ne contienne aucun point p de maximum ou minimum, ni aucun point d'inflexion r.

Dans le Traité de la Résolution des équations numériques , on avait déja montré que la règle donnée par Newton est incomplète, en ce qu'elle ne porte point un caractère qui assure l'exactitude

de l'approximation. L’'illustre auteur fait observer (Introduction, page x) qu'en négligeant à chaque opération des termes dont on ne connaît pas la valeur, on ne peut point juger du degré d’exacutude de chaque correction; et il ajoute (page 129, 2° édition) qu'il est difficile, et peut-être même impossible, de trouver « priori un caractère pour Juger si la condition qui rend l'opération convergente est remplie ou non. Cette question importante est complètement résolue par la méthode que nous avons donnée dans le livre précédent pour déterminer les limites des racines : car on connaitra par cette méthode si l'équation f(x) — o a une seule racine réelle entre deux limites & et b, et si chacune des équations f(x) = 0 et f(x) — 0 n'a point de racine dans cet intervalle. De plus on peut, dans tous les cas, assigner pour chaque racine deux limites qui saüsfont à ces conditions. Donc l’ap proximation linéaire, dont la règle newtonienne fait partie, peut toujours être appliquée. | La construction rend cette conséquence évidente pour le cas indiqué plus haut, car l’are zen (fig. 7) ne peut avoir ni point d'inflexion, ni tangente parallèle à l'axe, puisque les équations f”(æ)—= 0 et f'(x) —o n'ont aucune racine réelle entre a et 8. Il suffit donc dans ce cas d'appliquer la règle. La première valeur approchée à conduira à l'extrémité de la sous-tangente; ou si, pour faciliter le calcul ,on s'arrête en un point 6’ voisin du point à", et compris entre b"et b, on passera suivant le même procédé de ce point 6’ à un autre point 8” plus rapproché du point d’inter- section z. Cette approximation peut être continuée indéfiniment. (12) La disposition de la figure n’est pas toujours celle que l’on vient d'indiquer. Il fauten général distinguer quatre cas, savoir ceux que représentent les figures 9, 10, 11, 12, et dont nous venons de considérer le premier. Dans ce premier cas (fig. 9), l'approximaton se forme, comme nous l'avons dit, au moyen des tangentes successives, dont la première est menée par le point ». Dans le deuxième cas (fig. 10) la première tangente passe par le point 77. Dans le troisième (fig. 11) elle passe aussi par l'extrémité 77 de l’'ordonnée am. Pour le quatrième cas (fig. 12) la première tangente

part de l'extrémité » de l’ordonnée bn. La seule inspection des figures démontre la convergence des approximations : elle fait connaître aussi que, dans tous les cas, la condition de eette conversence consiste en ce que l'arc mn doit être exempt de sinuosités et de points d'inflexion. Or cela aura toujours lieu si les équations f'(x)=0 et f”"(x)— 0 n'ont aucune racine réelle entre a et b. On s'en assurera, comme nous l'avons dit, en substituant les limites a et b dans la suite des fonctions

PO (x), f(x)... f(x), Ja), f'(), J@),

ce qui donnera deux suites de résultats, savoir :

(a)... SO (a), fr... So, FO, FO, FO, (6).....f 00), Fo)... S"O, FO), FO, FO).

On comparera les deux suites de signes (a) et (b). Si ces deux suites ne diffèrent que par le dernier signe, qui est positif pour l’une des limites et négatif pour l’autre, il est certain que les équations J"(æ)=0, f'(x)—0o n'ont aucune racine dans l'intervalle. Donc l'arc mn n'a aucune tangente parallèle à l'axe, et n’a aucune inflexion. Par conséquent les limites sont assez voisines pour que l’on puisse, sans aucune incertitude, faire usage de la règle d'approximation.

On voit aussi qu'il n’est pas nécessaire que les deux suites de signes (a) et (b) ne diffèrent que par le dernier signe; il suffit de comparer les nombres de changements de signes de ces deux suites. On procédera à cette comparaison, en allant de gauche à droite, et l'on s'arrêtera d’abord à la fonction f”(x) inclusivement. Si l'on trouve que les deux limites ont jusqu'à ce terme le même nombre de changements de signes, on en conclura que l'équation f(x) —0 n'a aucune racine entre les limites a et b. On comparera aussi les deux suites (a) et (b) en s’arrêtant à la fonction f(x) inclusivement, et sil arrive que les deux suites aient encore le même nombre de changements de signes, on en conclura que l'équation f'(x)—0 n'a aucune racine entre les limites a et b. On pourra alors pro-

céder immédiatement à l'application de la règle , et l’on sera assuré de trouver des limites a’ et b’ plus approchées que les précédentes a et à.

Cette comparaison des deux suites (a) et (b) se réduit, comme on le voit, à former la série des indices propre à l'intervalle des limites & et b, et à examiner si les trois derniers indices sont o o 1 : cette condition est nécessaire et suffisante. Si elle n’était pas remplie l’approximation serait erronée, ou du moins incertaine ; on ne doit y procéder qu'après avoir rapproché les limites. Mais lorsque les trois derniers indices sont devenus o o 1, on est averti que les deux limites a et b sont assez voisines pour que l’on puisse faire usage de l’approximation linéaire. On passera ainsi des limites a et b à deux autres a’ et b”, qui auront la même propriété que a et b: l’une de ces nouvelles limites est donnée par la règle*newtonienne ; elle est représentée dans le premier cas (fig. 9) par

CAGE f'(E)

(13) Les constructions font connaître très-clairement que la règle newtonienne ne doit pas être appliquée indifféremment à l’une ou à l’autre limite; dans le premier cas (fig. 9) l'arc est ascendant et concave; il tourne sa convexité vers la partie inférieure de la planche. Dans le second cas (fig. 10) l'arc est descendant et concave. Dans le troisième (fig. 11) l'arc est ascendant et convexe; il tourne sa convexité vers la partie supérieure de la planche. Dans le quatrième cas (fig. 12) l’arc est descendant et convexe.

Pour le premier cas les trois derniers signes de la suite (a) que l’on forme en substituant a dans les fonctions

Ja), F'(), f(@)

+ Hunt 2

sont

et ceux de la suite (2) sont

Pour le second cas, les trois derniers termes des deux suites sont

(ETAT + a. ve OT + Ps 2e.

Pour le troisième cas, les trois derniers termes des deux suites, sont

(a)»äio: sa r 18; (&ÿ. ua: — + Tr

Enfin pour le quatrième cas, les derniers termes des suites sont

(aan — 22 + (EE en — 10! Lo"!

Dans le premier et le quatrième cas c’est à la plus grande limite b que le procédé d’approximation doit être appliqué, parce que la tangente menée par le point » donne certainement une seconde valeur D’ plus approchée que 0. Dans le second et le troisième cas, c'est à la moindre limite «a qu'il faut appliquer la règle, car la tangente menée par le point » donne certainement une valeur a! plus approchée que a.

Pour distinguer celle des deux abscisses qui représente la limite que l’on doit choisir, il suffit de remarquer que de l'extrémité de cette abscisse on voit lx convexité de l'are mn, et non point sa concavité. Cette limite peut être appelée extérieure, parce que le point qui la termine est hors de l'espace que la courbe renferme. L'autre limite est zntérieure. ,

Il n'est pas moins facile de reconnaître les limites par les signes des deux suites (&) et (b). La limite extérieure est toujours celle qui : donne le même signe pour f(x) et f” (x)!

(14) On à vu que, pour l'application régulière de la règle, il est nécessaire de connaître deux limites «& et b entre lesquelles est seule comprise la racine dont on calcule a valeur , et de s'assurer, en substituant les deux nombres a et à dans la suite des fonctions

JG Your. SN) A (Gi que l'équation f(x) = 0 ayant une

seule racine entre a et à, l'équation f(x) —0o n’a aucune racine dans cet intervalle, et qu'il en est de même de l'équation f(x) = 0. On détermine ces limites par la méthode que nous avons expliquée dans le premier livre, et si elles n'étaient point d’abord assez rapprochées pour que la série des indices propre à l'intervalle eût pour derniers termes 0 o 1, il faudrait diminuer l'intervalle Jusqu'à ce que cette condition fût remplie. Il est toujours facile d'obtenir ce dernier résultat , et les constructions rendent cette conséquence manifeste. L’arc de courbe mn dont l'intersection avec l’axe détermine la racine cherchée pourrait être assez étendu pour qu'il présentät des sinuosités et des inflexions, quoiqu'il n'eût qu'un seul point d’ intersection : c'est ce qui arriverait, par exemple, si cet arc était celui que représente la figure 8. On pourrait supposer les limites a et à assez éloignées pour que l'arc mn eût deux points p et p de maximum ou de minimum , et trois points d’inflexion r, r,r, quoiqu'il eüt un seul point d’intersection x. Mais il est manifeste qu'en rapprochant les limites on parviendrait à des valeurs plus - voisines a’ et D”, telles que l'arc mn fût entièrement exempt de sinuosités. Il faut seulement remarquer les cas singuliers où l’on ne pourrait pas séparer ainsi les points d'inflexion , d'intersection , et de maxima ou minima. Cela arrive 1° si deux racines sont égales, 2° si le point d’inflexion r coïncide avec le point d’intersection «. On ne considère point ici le premier cas, parce que les deux racines n'étant point séparées, la série des indices propres à l’intervalle ne serait pas terminée, comme où le suppose, par le nombre 1 : le dernier indice serait 2. Quant au second eas, il est analogue à celui des racines égales, et l’un et l’autre sont faciles à distinguer. Pour le premier, les deux fonctions f'(x) et f(x) ont un facteur commun, et pour le second les deux fonctions f(x) et f(x) ont un facteur commun, 11 suffit donc de comparer ces fonctions afin de reconnaître si elles ont un diviseur commun, et nous avons vu précédemment que cette comparaison fait partie de la règle qui sert à déterminer les limites des racines.

(15) Nous résumerons maintenant l'énoncé général des conséquences que l’on vient de démontrer.

En appliquant à une équation proposée f(x) —0 14 méthode que nous avons donnée pour la détermination des limites, on est parvenu à distinguer un intervalle terminé par deux nombres a et b, et dans lequel il se trouve une seule racine : on continuera comme il suit le calcul de cette racine. La série des indices propre à l’intervalle a, par hypothèse, pour dernier terme 1. On examinera si les deux suites de signes données par la substitution des limites & et à ne diffèrent que par le dernier signe, ce qui arrive le plus communément. Lorsque cette condition a lieu, on peut appliquer immédiatement la méthode d'approximation. On peut aussi procéder à cette application si les deux suites de signes étant différentes, les trois derniers termes de la série des indices sont o o 1. Si cette dernière condition n’est pas remplie, on est averti que les limites ne sont point encore assez voisines pour que l’on puisse faire usage avec certitude de la règle d’approximation : il faut diminuer l'intervalle des limites par la substitution d’un nombre intermédiaire. Mais avant de procéder à cette subdivision de l’intervalle, on examine si les fonctions f(x) et f(x) ont un diviseur commun (x). Si ce cas singulier se présentait , et si de plus l’équation 6 (x) — o avait une racine réelle « entre a et b , ce qu'il est trèsfacile de connaître d’après les principes que nous avons établis, il ne resterait plus qu'à déterminer cette racine «. On appliquerait donc la règle actuelle à l'équation o(x)—0.

Lorsque le facteur commun n'existe pas, on arrive certainement, par la division de l'intervalle, à deux limites a et à telles que les trois derniers indices sont 0 o 1. On distingue alors celle des deux limites qui donne le même signe étant substituée dans f(x) et JS (x), et désignant par € cette limite extérieure, on substitue c+} au lieu de c dans J'équation f(x) — 0; on omet dans le résultat les puissances de y supérieures à la première, et l’on détermine ainsi, par la seule division numérique , une valeur approchée de, en prenant le quotient trop faible, abstraction faite du signe. On trouve

ainsi une seconde valeur approchée c', et l’on pourrait continuer le même procédé de calcul en opérant sur la nouvelle limite c’ de même que l'on a opéré sur la limite c.

(16) On voit par ce qui précède que cette application de la règle donnerait des valeurs de plus en plus approchées, mais qui seraient, comme nous l'avons dit article 2, ou toutes plus grandes que la racine cherchée, ou toutes moindres que cette racine. Il en résulterait qu'en effectuant la division numérique pour connaître une nouvelle partie de la racine, on ignorerait jusqu'à quel terme cette opération doit être portée. Si l'on se bornait à un seul chiffre du quotient on perdrait un des plus grands avantages du procédé; car une seule opération peut donner plusieurs chiffres exacts, et elle en donne d'autant plus que l’on en connaît déja un plus grand nombre. Si au contraire on portait le quotient au-delà du terme où les chiffres cessent d’appartenir à la racine, on rendrait les opérations ultérieures compliquées et confuses. Il est évident que l’application régulière d’un tel procédé exige que l’on connaisse, par une règle certaine, combien chaque opération donne de chiffres qui appartiennent effectivement à la racine. Or nous avons établi plus haut les principes qui résolvent complètement cette question. On en déduit la règle suivante pour le calcul des valeurs approchées des racines, lorsqu'on a trouvé deux limites & et b qui, substituées. dans les fonctions f(x)... f(x), f'(x), f(æ), donnent deux suites de résultats dont les signes sont les mêmes , excepté ceux des deux derniers résultats ; ou plus généralement lorsqu'on a trouvé deux limites « et b qui, substituées dans ces fonctions, donnent des résultats tels que la série des indices a pour ses trois derniers termes o o 1. Il faut, désignant par & celle des deux limites qui, substituée dans les fonctions f(x) et f (x), donne deux résultats de même signe, former l'expression

ee. 10) .

JS’)?

et désignant par « l’autre limite qui donne des signes différents I. 21

pour f(x) et f («), on formera l'expression

er NT 27750 ‘ Les deux quantités a et £’ sont de nouvelles vateurs entre lesquelles la racine x est comprise, et qui sont plus approchées que « et €.

(17) Ces nouvelles limites 150 et FD déduites des premières 6 et «, ne sont pas les seules que l’on puisse employer pour le caleul des racines : l’approximation linéaire comprend en général cinq limites qui dérivent des deux premières « et6. La construction (fig. 13) suffit pour indiquer ces cinq limites, et leurs propriétés. IL faut par l'extrémité de l'ordonnée qui répond à l’une des limites, mener une tangente à l'arc, et prolonger cette tangente jusqu’à sa rencontre avec l'axe des abscisses. On menera aussi une seconde tangente par l'extrémité de l’ordonnée qui répond à l’autre limite; puis on menera par l'extrémité de chacune de ces deux ordonnées une droite parallèle à la tangente qui passe par l'extrémité de l’autre ordonnée. Enfin on fera passer par les extrémités des deux mêmes ordonnées une sécante, en marquant son point d’intersection avec l’axe des abscisses. Cela posé, le système de ces cinq lignes droites représente toutes les conditions de l’'approximation linéaire, ou du premier degré; c’est-à-dire que l'on connaîtra ainsi les nouvelles valeurs approchées que l’on peut déduire des deux limites primitives « et 6 par la seule résolution des équations du premier degré. On peut choisir, selon la nature des cas particuliers, celle des cinq limites qu'il est le plus facile de calculer; mais il n'arrive pas toujours que l’on est fondé à conclure que les deux nouvelles limites sont nécessairement plus approchées que les deux précédentes. Cette propriété n'appartient qu'aux deux quantités exprimées dans l’article précédent par

FOR Lo PAU 0:

et à celle des cinq limites qui est indiquée par la sécante, Cette der-

CALCUL DES RACINES. 183 nière à pour expression

6— à RATES:

Le facteur qui multiplie — f (6) est le quotient de la différence € — « des deux abscisses par la différence f (6) — f(x) des deux ordonnées;

‘et dans l'expression précédente 6— PE le facteur qui multiplie

— f (6) est le quotient de la différentielle d6 de l'abscisse par 46 .f"(6), ou d. f(6), qui est la différentielle de l’'ordonnée : ainsi les deux expressions diffèrent en ce que le signe de la différentielle est remplacé par celui de la différence finie.

Lorsque la différence des limites est encore assez grande, les cinq nouvelles limites qui en dérivent diffèrent très-sensiblement les unes des autres, et il convient de choisir celles qui donnent les valeurs le plus approchées. Mais à mesure que l'intervalle des premières limites diminue, les nouvelles limites que l’on en peut déduire se rapprochent continuellement, et l’ordre de la convergence devient le même pour toutes. Nous ferons connaître par la suite la mesure de cette convergence.

(18) Le cas le plus simple de l'approximation linéaire est celui que présentent les équations à deux termes de la forme