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Il ne reste plus qu'à combiner cette nouvelle limite a! avec la seconde valeur approchée D’ que l’on a déduite de la première b, et qui est ainsi exprimée,

Les limites a et b, dont l’une a est plus grande et l’autre b est moindre que æ, sont donc remplacées par des limites plus voisines a! et #", dont l’une a'est moindre, et l’autre D! est plus grande que la racine cherchée x. IT faut remarquer que ce calcul des valeurs a! et b' se

CALCUL DES RACINES. 169 réduit à celui des quotients FF es : FR A Or les trois résultats f{a), f(b), f'(b) sont déja connus par le procédé qui a servi à déterminer les premières limites a et b. Il est donc très-facile d'obtenir les nouvelles valeurs a' et b” plus approchées que a et b.

En se bornant à l'application commune de la méthode newtonienne, on n'obtient qu'une seule limite, et par conséquent on ignore combien il faut calculer de chiffres lorsqu'on effectue la division indiquée. Mais le procédé que nous venons de démontrer n’est pas sujet à cette incertitude, puisque l’on connaît deux nouvelles limites a’ et D”, dont l’une est moindre et l’autre plus grande que la racine. Dans le calcul des valeurs de a’ et b', qui sont

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à — F® FO’ on ne doit point employer les valeurs exactes des quotients, qui pourraient être trop composées. I] suffit de prolonger le calcul jusqu’à ce que les valeurs de a’ et db’ ne diffèrent que d’une très-petite quantité, en conservant cette condition que la valeur de a” doit être prise trop petite et la valeur de b’ trop grande. Désignant donc par a’ et D” les nouvelles valeurs que l’on aura ainsi déterminées, on emploiera ces secondes limites a’ et b’ pour en déduire suivant le même procédé de troisièmes limites a” et bd”. Si l'on continue indéfiniment ce genre d’approximation on trouvera des valeurs de plus en plus exactes, et l’on connaîtra toujours les limites de l'erreur.

(9) Nous allons maintenant chercher la mesure de la convergence, c'est-à-dire la loi suivant laquelle l'intervalle des limites diminue continuellement : l'expression de cette loi est un des éléments prin-. cipaux de notre question.

Soit z la différence de deux limites a et b, entre lesquelles la racine x est comprise, et assez voisines pour que l'équation f(x) — 0 et l'équation f'(x)—= o n'aient aucune racine dans ce même intervalle. Nous avons vu 1° qu'il est facile de reconnaître si ces conditions sont remplies ; 2° que si elles subsistent on déduit des limites données a et d d’autres limites plus voisines a’ et d', ainsi expri-

mées , o à ! Sa / Va A = — ETES ASE S'(e)? J'(È)

Soit 2” la différence b'— 4’ des nouvelles limites: les différences b—a et b'— à, où zet £’, ont une relation qu'il s’agit de découvrir. On résout A EE cette question en substituant b— au lieu de « dans l'expression de a’: on trouve ainsi les équations

7 ir 05 V{(8) bb

LE FAURE ad —b—1 FD

Développant f(b—i) jusqu’au troisième terme, on a

juan F6) — if (E)+SS'(b— 5.5) D ES EU f'(b) On désigne par d—1...b une valeur de la variable comprise entre d —1 et b, c'est-à-dire entre « et b. Retranchant de DEC pression de «’ ainsi développée, on trouve

ES Pr MERE TES PÉORIÉBSN RAUL ER ARE ou LEA EU HA 2) L'E=ET 7 af

Ce résultat est très-remarquable : on voit que la différence z des deux premières limites étant connue, on trouverait la différence 7’ des deux gun limites, en lt plait le carré dec par le coeff" (a ee

ficient CE p2. . Le dénominateur 2f”(b) est connu; le numérateur

(GR 5 est la valeur que l'on trouverait en substituant dans la fonction f”(x) une quantité comprise entre a et b. pe désigne-