SP

La série dés indices, formée selon la règle de l’article 31 du premier livre, est terminée par les nombres o 1 2. Il s'ensuit 1° que l'équation f’(x)—0o a une racine comprise entre 2 et 3, et que cette équation a une seule racine dans ce même intervalle; 2° que l’on doit chercher'entre les limites 2 et 3 deux racines de l'équation /(æ)—0o, et que l'on ignore jusque -là si ces deux racines sont réelles ou si elles manquent dans l'intervalle. Pour connaître la nature de ces racines , il faudrait substituer dans f(x) la valeur exacte de la racine + de l'équation f”(æ)—0, et marquer le signe de f (a). Si ce dernier signe est positif, les deux racines cherchées sont réelles : l’une serait comprise entre 2 et «, et l’autre entre « et 3. Cela résulte évidemment des principes que nous avons démontrés dans le premier livre. Si au contraire le signe de f(x) est négatif, on est assuré que les racines sont imaginaires, parce que la suite des signes perd à la fois deux variations de signes lorsque le nombre substitué passe d'une valeur infiniment peu inférieure à 4 à une valeur infiniment peu supérieure à #. Mais pour la certitude de cette dernière conclusion, il ne suffit pas de substituer au lieu de x dans f(x) une valeur très-approchée de « : car on conçoit que le signe de f(x) pourrait être positif lorsqu'on attribue à x une certaine valeur, et devenir négatif lorsqu'on altère d’une très-petite quantité le nombre substitué. Toute la difficulté consiste à pouvoir conclure le signe de f(x), quoiqu'on n'attribue à x qu'une valeur approchée « moindre que «, où une valeur approchée ? plus grande que x. Nous avons résolu cette question en considérant non-seulement la grandeur des résultats (a) et f(b), mais aussi les valeurs f'(a) et f'(b) de la fluxion du premier ordre. Et en effet si la valeur a est très-rapprochée de 4, et si le résultat f(a) a une valeur positive très-grande, on est pour ainsi dire assuré que le signe de f(a) est positif; et toutefois il reste à examiner si la fluxion f(a) étant négative est exprimée par un nombre très-grand : car dans ce cas la fonction f (a) décroissant très-rapidement, il serait possible qu’elle devint négative lorsqu'on change extrêmement peu la

valeur de x; et qu’ensuite elle devint positive, parce que la fluxion I. 30

J'(x) deviendrait elle-même positive et très-grande. La solution que nous avons donnée dans les articles 24 et suivants du premier livre, consiste à introduire dans le calcul les valeurs de f (a), f'(a), celles de f(b), f"(b), et de l'intervalle b— a. Par la comparaison de ces quantités, on parvient à connaître sans aucun doute le signe de f (x). On peut aussi considérer la question sous un autre point de vue qu'il est utile d'indiquer.

(36) Si l’on propose en général de connaître le signe du résultat que l’on trouverait en substituant dans f(x) la racine 4 de l'équation

f(x) et F(x) étant deux fonctions algébriques données, et si l’on è J À d : ; L excepte le cas singulier où F(x) est -— f(x), il suffira d'appliquer les principes que nous avons démontrés dans le premier livre concernant les limites des racines.

On déterminera deux limites & et b entre lesquelles l'équation F(x)—0 à une racine réelle, savoir la valeur « que l’on considère ;

et ces limites a et pourront toujours être assez rapprochées pour que les deux suites de signes des résultats

grd (A OM Sub (x © F(a), F”(a), F'(a), F(a)

Po (b), Fe0(b)..…..#F"(b, FO), F@), F@ (1 fassent connaître que l'équation F(x)—0 a en effet une racine réelle entre «& et b. Supposons que cette condition ait lieu : on sub-

stituera les mêmes limites & et b dans les fonctions qui dérivent de l’autre fonction f(x), savoir :

Je), FIV (@)..... JS), f'(æ), JC), fe),

et l’on examinera s'il résulte de la comparaison des deux suites de signes

JS (a), (a)... (a), Fa), F'(@), (a) (2) FP(), FTP()..... F7), F°(b), f'(), )

que l'équation / (x)—0o ne peut avoir aucune racine entre a et b, en sorte que la série des indices propre aux suites (2) ait zéro pour dernier terme. Si cette dernière condition à lieu en même temps que la précédente, on connaît avec certitude le signe de f{a) : ce signe sera celui qui est commun aux deux quantités f(a) et f(b). En effet il résulte de la seconde condition que toutes les quantités comprises entre & et à donneraient des résultats de même signe si on les substituait dans f(x); et il résulte de la première condition que la valeur exacte de « est comprise entre & et à. Donc le signe de f (2) est connu : il est celui de f(&) et. f(b). T suffit donc, pour déterminer ce signe, de rapprocher les limites « et b en sorte que la racine + ne cessant point d’être comprise entre & et b, ce que l’on connaît par les signes des suites (r), la comparaison des suites (2) donne o pour le dernier terme de la série des indices. Or si l’on fait d’abord abstraction du cas où ces deux fonctions auraient cette

: ; PATTE dé, ; à : ; relation singulière F (x) — 7. / (æ), il est cértain que l'on obtiendra

facilement des limites & et à qui satisferont à l’une et à l’autre condition : car la fonction F(x) étant exprimée par l’ordonnée d’une certaine courbe,et la fonction algébrique f (x) étant aussi l'ordonnée d’une seconde courbe, les deux limites & et b entre lesquelles se trouve un point d'intersection de la première ligne avec l'axe des abscisses peuvent, généralement parlant, répondre à deux ordonnées de la seconde courbe entre lesquelles l'arc de cette seconde courbe n'aura aucun point d'intersection , et sera exempt de toute sinuosité, Donc la comparaison des suites (2) donnera o pour le dernier terme de la série des indices. Donc les deux conditions énoncées subsisteront ensemble et le signe de f(x) sera connu.

(37) Cette remarque n’est point bornée aux fonctions qui ne contiennent qu'une seule variable. On peut en général résoudre Ja question suivante, qui se présente dans. les applications principales de l'analyse algébrique. Une fonction algébrique f(x, y, z,...) de plusieurs variables étant proposée, et les valeurs de x, y, z,..: étant seulement connues par approximation, il s’agit de connaître avec

certitude le signe que l’on obtiendrait en substituant dans la fonction f(x, y, z,...) les valeurs exactes de x, y, z,... On suppose que l'on connaisse pour chacune de ces valeurs deux limites entre lesquelles elle est comprise. Il faut juger, d’après un caractère certain , si ces limites sont assez rapprochées pour que les divers résultats qu'on obtient en substituant dans la fonction f(æ, y,2,...) des valeurs quelconques de x, y, z,... comprises entre ces limites, sont tous de même signe.

Nous avons assigné ce caractère pour le cas d’une seule variable art. 36 : cette proposition est générale, comme on le verra dans la suite de ces recherches. Il est toujours facile de rapprocher les deux limites qui comprennent chacune des valeurs x, y, 2,... en sorte que l'on soit assuré que le signe du résultat de la substitution ne change point si l’on attribue aux variables des valeurs quelconques comprises entre ces limites.

(38) Cette proposition convient, généralement parlant , aux divers points des lignes ou des surfaces courbes, et aux valeurs quelconques des variables x, ÿ,2,...; mais il y a des valeurs singulières auxquelles on ne peut point lappliquer immédiatement. Ces cas exigent un procédé particulier dont nous allons indiquer l’origine. On propose de déterminer le signe du résultat que l'on obtiendrait en substituant au lieu de æ dans la fonction algébrique f(x) la valeur « qui rend nulle la fonction différentielle f” (x). Cette valeur « n'est point connue exactement; mais on sait qu’elle est comprise entre deux limites très-voisines et données a et b. Cette dernière question est précisément celle que nous avons considérée d’abord, et qui a pour objet de distinguer le cas des deux racines réelles du cas des deux racines imaginaires. On le voit distinctement dans l'exemple cité art. 35. Si la seconde fonction f'(x) n'avait point avec la prennère f(x) le rapport singulier dont il s’agit, en sorte qu'au lieu de f(x) on eût une certaine fonction F (+) indépendante de f(x), on examinerait si les deux limites & et b, entre lesquelles 2 est comprise, sont assez voisines pour que la comparaison des deux suites de signes

Ja), Fra)... Pa), (a), S'(a), J(), SP), FE)... (0), FC), F'(b), FE)

donnât o pour le dernier terme de la série des indices ; et si cette condition n'avait pas lieu d’abord, on rapprocherait les deux limites & et b jusqu'à ce que la condition eût lieu, ce qui, dans le cas général, est très-facile. Alors le signe cherché def (4) serait celui qui est commun à f(a) et f(b). Mais dans le cas particulier que nous considérons, on ne pourrait point obtenir la dernière condition, quelque rapprochées que fussent les limites & et b: le dernier terme de la série des indices ne serait jamais o. Si les deux racines cherchées dans l'intervalle de a et b étaient réelles, on parviendrait en rapprochant les limites à séparer les deux racines; mais si elles étaient imaginaires, l'incertitude subsisterait toujours, parce que le dernier terme de la série des indices donnée par les suites précédentes ne serait jamais o, mais toujours égal à 2. Cela provient de ce que la valeur de + qui rend nulle lordonnée f(x) de la seconde courbe correspond dans la première courbe à un point singulier où la tangente est parallèle à l'axe des abscisses. Or le dernier terme de la série des indices donné par ces suites ne peut être o que dans le cas où l’are de la courbe qui répond à l'intervalle des limites n’a aucun point de maximum ou minimum. On voit done que la proposition énoncée dans l’art. 36 ne peut point s'appliquer ici de la même manière que si les deux fonctions proposées n'avaient aucun rapport spécial.

Après que lon à reconnu distinctement l’origine de la difficulté propre au cas dont nous nous occupons, il se présente divers moyens de la résoudre: l'un des plus simples, et d’une application très-facile, est celui que nous allons indiquer. Au lieu de considérer les deux fonctions f(x) et f(x), on les remplacera par celles-ci f(x) +f'(x) et f'(x). Une valeur 4 de x qui rend nulle f'(x) est comprise entre & et b: il s'agit de déterminer avec certitude le signe de f(x). Soit 9 (x) = f(x) + f'(x) : on voit que le signe cherché de f(x) est précisément celui de o(«), puisque /’(«) devient nulle

par hypothèse. Il suffit donc d'opérer de la même manière que si les fonctions proposées étaient 4 (x) et f(x). Or dans ce cas le point singulier où la tangente est parallèle à l'axe des x est déplacé ; il ne se rencontre plus nécessairement dans l'intervalle des limites a et b qui comprennent la racine « de l'équation f’(x)—0. Il faut donc examiner si ces limites a et d sont telles que pour l'équation p(æ)—0 les suites

(a)... 9" (a), ea), pa), p(a) p(b)..... 9" @), » (@), 9 (0), e (6)

ont une série d'indices dont le dernier terme soit zéro; et si cette condition n’a pas lieu d’abord, on parviendra facilement, en rapprochant ces limites, à deux limites plus voisines a’ et qui donneraient o pour le dernier terme de la série des indices, en même temps que les limites a’ et b" comprendront toujours la racine + de l'équation f'(x)—0. Ces conditions ayant lieu, on marquera le signe commun de o(a’) et 0 (b") : ce signe sera celui de o(«), et par conséquent le même que le signe de f(«) qu'il fallait déterminer. Si le signe trouvé est négatif, les deux racines sont réelles ; s'il est positif, les deux racines sont imaginaires.

Il faut remarquer surtout que la substitution des limites a et b dans la fonction 9 (x) et dans celles qui en dérivent, est très-facile parce que cette fonction est égale à f(x) +.f"(æ). Or les opérations précédentes qui ont servi à trouver les premières limites approchées ont fait connaître les résultats des substitutions dans f(x) et dans toutes les fonctions différentielles qui en dérivent; par conséquent on distinguera le cas des racines imaginaires à la seule inspection des résultats numériques que l'on a déja formés, et l’on obtient ainsi une solution exacte et très-simple de la question proposée.

(39) Dans l'exemple cité plus haut les suites correspondantes aux limites 2 et 3 sont

CALCUL DES RACINES. 235 J'), P), PQ), Fe), (2), (2),

@h....0 + + — — + — 120 168 48 82 30 ar O O I O I 2

(3). . —+ + + LE LE STE Tr 120 288 180 26 43 32

On formera au moyen de la suite (2) une suite correspondante (2), en ajoutant à chaque terme de la suite (2) celui qui le précède à gauche dans la même suite et marquant le signe du résultat; on opérera de la même manière sur la suite (3) pour former la suite correspondante (3). On trouvera ainsi

! (ah. sauts + vo EN hits ni | O O Oo I O I (GarmecponesO pirepes HE 0;

Comme le dernier terme de cette nouvelle série d’indices n’est pas zéro, on en conclut que les limites 2 et 3 ne sont pas assez rapprochées pour que la question puisse être immédiatement résolue. On substituera donc un nombre intermédiaire 2,2 dans la série des fonctions, et l’on obtiendra le tableau suivant :

FC), SC) Fe), J'æ), F'(@), (a)

(APRES EE 4- — nr 2e 130 168 48 82 30 21 (29e + + — ns + — 120 192 12 88,08 12,872 16,69248 O O [ O I 2 (3). . +. 0. —+- + + SRE "an x T 120 288 180 26 43 32

Les limites des deux racines indiquées sont maintenant 2,2 et 5. Si l'on forme les suites (2,2) et (3)! de la manière qui a expliquée ci-dessus , c’est-à-dire en ajoutant chaque terme des suites (2,2) et(3) au terme qui le précède immédiatement à gauche dans la même suite, on trouvera

(2,9) A Lt AC CPR RER —

(Faso tee Eh LE 0 SE TRS SERRES

Le dernier terme de la série des indices données par les suites (2,2) et (3) étant 2, on doit chercherentre les nombres 2,2 et 3, deux racines de l'équation f(æ)—0; et l’on ne connaît point encore si ces deux racines sont réelles , ou si elles manquent dans l'intervalle de ces limites. Quant à l'équation /”(x) —o, elle a certainement une racine réelle entre 2,2 et 3; et les trois derniers termes de la série des indices étant o 12, on connaîtra si les deux racines de l'équation f(x)=0 sont réelles ou imaginaires, en substituant dans f(x) la racine « de l'équation f'(x)=0 : car si le signe de f(x) est positif on est assuré que les racines sont réelles, et elles sont imaginaires si le signe de f'{«) est négatif. Oren considérant les suites mu et (3), qui ne correspondent point à la fonction f(x), mais à la fonction f(x) + f(x), on voit qu'il ne peut y avoir entre 2,2 et 3 aucun nombre qui rende nulle l'expression f(x) +/f'(x). Cela se conclut de ce que la série des indices donnés par les suites (2,2) et (3) a pour dernier terme o. Donc tout nombre compris entre 2,2 et 3 donne un résultat de même signe lorsqu'on substitue ce nombre dans l'expression f(x) + f(x). Or la racine « de l'équation f'(æ)= 0 est comprise entre 2,2 et 3. Done le résultat f(x) + f (a) a le signe —, et f(x) étant nulle par hypothèse, il s'ensuit que f (a) est un nombre négatif. Donc les deux racines cherchées sont imaginaires.

(4o) Le procédé que l'on vient d'expliquer résout facilement et dans tous les cas possibles la question qui a pour objet de distinguer les racines imaginaires : voici la règle qui en résulte.

Après avoir formé les deux suites de signes (&) et (2) qui répondent aux limites entre lesquelles on doit chercher les deux racines d’une équation , il faut écrire la série des indices que donne la comparaison de ces deux suites. Les trois derniers termes de cette série sont par hypothèse o 1 2, en sorte que l'équation f'(x)=0 à

une seule racine entre a et b, et l’on ignore si les deux racines de l'équation f (x)— o sont réelles ou imaginaires. Pour faire cette distinction on remplace chacune des suites de signes (a) et(b) par deux autres (A) et (B),en ajoutant à chaque terme d'une suite le terme qui le précède à gauche dans la même suite. Si l’on compare les deux suites (A) et (B) en formant une nouvelle série des indices, et si l'on trouve o pour le dernier terme de cette nouvelle série, la question est résolue. Mais si ce dernier indice n'est pas zéro il faut rapprocher les deux limites (a) et (b), et en continuant d'opérer selon la même règle il arrivera nécessairement, ou que les deux racines cherchées se sépareront, ce qui prouve qu'elles sont réelles, ou que le dernier indice de la nouvelle série donnée par les suites (A) et (B) sera zéro. Dans ce cas, le dernier signe de la suite (A) est le même que le dernier signe de la suite (B); et si ce signe commun est celui de f”(a) dans les suites primitives (a) et (b), les deux racines cherchées sont imaginaires. Mais si le signe commun aux deux derniers termes des suites (A) et (B) est contraire au signe de (a) et f”(b) dans les suites primitives (a) et (b), les deux racines cherchées sont réelles. On connaîtra par l'application combien l'usage de cette règle est facile : elle résout promptement la question principale que présente la recherche des limites. On pourrait donner des formes très-variées à cette solution, car il est évident que l’on serait conduit aux mêmes conséquences en ajoutant à la fonction primitive f(x) des fonctions différentes de f(x), qui auraient aussi la propriété de devenir nulles lorsqu'on donne à x la valeur que nous avons désignée par a: mais en employant la fonction f(x) le calcul est réduit à une forme extrèmement simple, puisqu'il suffit d'ajouter à chaque terme d’une suite le terme précédent de la même suite.

(41) Si l'on avait seulement en vue de donner une solution exacte et facile du problème de la distinction des racines imaginaires, on se bornerait à celle que nous avons démontrée dans les artieles 22 et suivants du premier livre; mais l'importance de cette recherche, et ses rapports avec la théorie des équations qui contien-

nent plusieurs inconnues, exigent que l’on multiplie les moyens de solution. C’est dans cette vue que je me suis proposé d'appliquer à cette même question le procédé de l'approximation du second degré, et ensuite celui des fractions continues.

Nous considérerons le cas où les signes des deux suites (a) et (b)

sont Ro tr D AE Le (alone taithes er + — + 0 O I 2 (brise hs: #as tt on tu LE + :

il sera facile d'appliquer à tous les autres cas les conséquences que fournit l'examen de celui-ci.

Les trois derniers termes de la série des indices étant o 1 2, . on voit que l’on doit chercher entre les limites a et b deux racines de l'équation fx—o, et qu'il s’agit de reconnaître si ces deux racines subsistent en effet, ou si elles sont imaginaires. La fig. 17 représente dans l'intervalle des limites a et à l'arc dont l'équation est y —/fx. On écrira a + x — a au lieu de x dans fx, en désignant par «a la première valeur approchée équivalente à l’abscisse oa; et l'on développera comme il suit la fonction (a + æ— a):

Ja=f(a+x—a)=fa+(x—-a)f'a+(x—a):f"(a...x).

Le terme qui complète la série contient f”(a...x), c’est-à-dire une fonction f” d’une certaine quantité comprise entre a et +, que l'on forme en ajoutant à & une valeur inconnue comprise entre o etx— a: on applique ici le théorème rapporté dans l’Introducuon, art. 9. On considérera maintenant que les valeurs de la fonetion fx sont toutes positives dans l’intervalle des limites & et D, et qu'elles vont toujours en augmentant lorsqu'on passe de la première abscisse à à la dernière D. Cela résulte évidemment des signes que présentent les deux suites («) et (b) au-dessous des fonctions fx et fx. Doncla moindre valeur que puisse recevoir l’expression f(a...x) est fa, et la plus grande est f"b. On en déduit

fa>fa+(x—a)f'a+(x—a)Yif"a,

condition qui subsiste dans tout l'intervalle des limites. Donc si, après avoir déterminé fa, f'a et fa, on décrivait une ligne qui, ayant x pour abscisse, aurait pour ordonnée

fa+(x—a)f'a+(x—a)ÿ£if'a,

l'arc mry appartenant à cette ligne serait placé au-dessous de l'arc mp n dont l’ordonnée est fx; et cela aurait lieu dans tout l’intervalle «ab. Au point » les deux ordonnées sont égales, et leur valeur commune est fa. Les fonctions dérivées du premier ordre sont pour l’une des courbes fx, et pour l’autre f'a+(x— a) fa. Ainsi ces fonctions deviennent égales lorsque x=— «, en sorte que les arcs Mpn et mry ont.un contact du premier ordre au point "2. À partir de ce point les lignes se séparent et la seconde 7» rv passe au-dessous de la première mpn. Donc si l’are m+v de la parabole ne rencontre point l'axe ab, on est assuré a fortiori que l'are mpn ne rencontre pas cet axe: dans ce cas les deux racines cherchées sont imaginaires. On posera donc l'équation du second degré

FD VEEET 50,

et l’on cherchera les valeurs de 5. Si les racines de cette équation du second degré sont imaginaires, c’est-à-dire si l’on a cette con-

dition

les deux racines de l'équation fx— 0 sont certainement imaginaires. On peut aussi faire disparaître le dénominateur , et l’on a la condition

(f'aÿ Lafa.f'a:

lorsqu'elle a lieu on est assuré que deux racines de la proposée

fæx—0o manquent dans l'intervalle des limites a et b. Supposons maintenant que dans l'équation

fax=f(a+x—a)=fa+(x—a)f'a+(x—a):f"(a...x)

on remplace f"(a...x) par la plus grande de ses valeurs, quiest f"b:on aura

fa<fa+(e—a)f'a+(x—a)!f"b

Si donc on décrivait l'arc + v" dont l’ordonnée est fa+(x—a)f'a+(x—a)<:f"b,

cet arc serait supérieur à l'arc mpn dans tout l'intervalle & b. La valeur de la fluxion du premier ordre est pour l’une des courbes f'x, et pour l'autre f'a+(x—a)f"b. Elle est pour les deux courbes égale à f'& au point m : ainsi l'arc mr" v de la parabole a au point > un contact du premier ordre avec la courbe mpn, et à partir de ce point l'arc mx'v est placé au-dessus de la courbe dans tout l'intervalle ab. Donc si l’arc parabolique mr y coupe l’axe ab, on est assuré a fortiori que l'arc mp n coupe aussi l’axe, c'est-à-dire que les deux racines cherchées sont réelles. On posera donc l'équation du second degré

Jo+èfa+=f'b=o,

et l’on cherchera les valeurs de 3 : si ces valeurs sont réelles, c’està-dire si l’on a la condition

CH) > 2h ou (f'aÿ > 2fa.f'b,

on en doit conclure que la proposée f'x—o a deux racines réelles dans l'intervalle des limites « et b.

On parvient à des conséquences semblables si l’on considère l’autre extrémité 7 de l'arc mp n. En effet en mettant b—(b— x) au lieu de x dans la fonction fx, on a

Ja=fb (x) f'b + (ba if (ed),

l'expression (æ...b) désignant une quantité inconnue comprise entre x.et à. Or la plus grande des valeurs que l’on trouve en sub-

stituant au lieu de x dans la fonction fx une quantité comprise entre & et b est, par hypothèse, f”"b; la moindre est fa: on a done ces deux conditions,

fa <fb—(b—x)f b+(b—x).if"b fa >fb—(- ax f'b+(b—a).if"a.

Si maintenant, en considérant æ comme abscisse variable, on décrit les arcs qui ont pour ordonnées

fb—(b—x)f'b+(b—x).:f"b ; fb—(b—x)f'b+(b—x).ïf"a,

on aura deux arcs paraboliques dont le premier est toujours supérieur à l'arc mpn dans l'intervalle des limites a et b, et le second est toujours inférieur à cet arc mpn. On en conclut que si l'arc supérieur coupe l'axe ab, l'arc mpn coupera le même axe, et que par conséquent les deux racines cherchées seront réelles ; mais si l'arc inférieur ne rencontre pas l'axe des x on est assuré que l'arc mpn ne rencontre pas ce méme axe, et que par conséquent les deux racines cherchées sont imaginaires. On posera donc l'équation du

second degré

fb—Sfb+T f'b—o,

et l’on prendra les valeurs de 5: si ces valeurs sont réelles, c'està-dire si l’on a la condition

3) > ou(f'EY>2fb.f'b,

les deux racines de l'équation fæ—o sont réelles. Posant aussi l'équation

fofo + f'a—o,

on en conclut que les deux racines de l'équation fx—0 sont imaginaires si l’on a cette condition

(S'EY <2fb.f"a.

(42) Si l'on réunit les résultats précédents, on parvient à cette conclusion : 1° on est assuré que les deux racines cherchées sont réelles, lorsqu'on a l’une ou l’autre des conditions ainsi exprimées

(ay > 2fa.f"b (1) (> 2fb.f"b; (2)

2° on est assuré que les deux racines cherchées sont imaginaires lorsqu'on a l’une des deux conditions

(f'aÿ <2fa. fa (3) (FbÿL 3 fb.fl'a (4)

Il peut arriver qu'aucune des quatre conditions (1), (2), (3), (4) ne subsiste, c’est-à-dire que les quatre conditions contraires auraient lieu toutes à-la-fois. Dans ce cas les limites « et D ne sont pas assez voisines pour que l’on puisse reconnaître par une seule opération si les racines sont réelles ou imaginaires : il faut rapprocher ces limites en substituant dans fx une valeur numérique comprise entre a et d. Si le résultat de cette substitution sépare les deux racines que l'on cherche, on reconnaît qu’elles sont réelles, et la question est résolue; mais si la substitution ne sépare point les deux racines, l'incertitude subsiste encore, et l’on doit procéder à une seconde opération semblable à la précédente afin de distinguer si les racines sont réelles ou imaginaires. On examinera donc si en employant les deux nouvelles limites a’ et b' qui remplacent a et bd, l’une des quatre conditions (1), (2),(3), (4) est satisfaite, et alors la nature des racines serait connue. Or il est évidemment impossible qu'en continuant de rapprocher les limites, on ne parvienne pas promptement à satisfaire à l’une ou à plusieurs des quatre conditions dont il s’agit. Donc on distinguera certainement les racines par ce procédé, qui se réduit à la comparaison de valeurs numériques connues.

(43) Nous avons supposé que les deux suites de signes qui conviennent aux limites «& et à sont

Pros Flat tasonf eh Fa Fa). ASE + — + (Bb)... SUR + + +:

ainsi la valeur de fx croît avec x depuis æ—a jusqu'à x—0, parce que dans cet intervalle le signe de f”’x est +. Nous examinerons le cas opposé où les deux suites de signes (a) et (b) sont

(a). Xe Dites. — +- —— Le CESR PT nt Lo = pan ft ME Me LL

Les trois derniers termes de la série des indices sont encore o 1 2, et il s’agit de reconnaître si l'équation /x—0 a en effet deux racines réelles entre a et b. On écrira

fa—=f(a+x—-a)=fa+(x—a)f'a+(x—a).f'(a...x).

Or le signe de fx étant — dans tout l'intervalle ab , la valeur de f "x diminue lorsque x augmente depuis x—a« jusqu’à æ—b : par conséquent si l'on remplace f"(a...x) par fa on augmente la valeur de fx, et on la diminue si l’on écrit f”b au lieu de f’(a...æ). On a donc

fx>fa+(x—-a)f'a+(x—aÿ.ï:f"b

fa <fa+(x—a)f'a+(x—aÿ.ïif"a.

Done si l'on décrit une courbe dont x est l’abscisse, et qui a pour ordonnée fa +(x—a)f'a+(x—a).:f"b, l'arc de cette courbe est au-dessous de l'arc mpn dans tout l'intervalle &b. Donc les deux racines cherchées sont imaginaires, si cet arc inférieur ne coupe pas l'axe des abscisses, c'est-à-dire, si l’on a cette condition:

(Cfa) <te fable.

La courbe dont x est l’abscisse, et qui aurait pour ordonnée fa +(x—a)f'a+(x— a).5f'a est au contraire placée au-dessus de l’are mpn dans tout l'intervalle a b : done l’are mpn coupe certainement l'axe des abscisses si l'arc supérieur coupe cet axe, Par

ah LIVRE DEUXIÈME.

conséquent les deux racines cherchées sont réelles si l’on a cette

condition

(We eo au TD;

On considérera maintenant la seconde limite bd, et l’on trouvera les résultats suivants

fax > fb—(b—x) f'b+(b—x).ï f"b fa <fb—(b— x) f'b+(b—x).< fa:

donc l'arc mpn de la courbedont l'ordonnée est fx est au-dessus de l'arc parabolique qui a pour ordonnée fb—(b—x) f b+(b—x):f"b, et au-dessous de l'arc parabolique qui a pour ordonnée fb—(b—x) fb +(b—x}.!/f"a. On en conclut que les deux racines cherchées sont réelles si l’on a cette condition,

FD >afb.f'a; et que les deux racines sont imaginaires si l'on a cette condition, (f'b) <afb: [0 On comparera ces résultats, qui conviennent au cas où le signe de f'"x est —, à ceux que l’on trouve lorsque le signe de f "x est +, et l'on conclura plus généralement 1° que les racines cherchées sont réelles si le carré de la fonction f'x d’une des limites surpasse le double produit de la fonction fx de la même limite par la fonction fx de celle des deux limites qui donne la plus grande valeur pour fx ; 2° que les racines cherchées sont ‘imaginaires si le carré de la fonction fx d’une des deux limites est moindre que le double produit de la fonction fx de la même limite

par la fonction f” x de celle de ces deux limites qui donne la moindre valeur pour fx.

(44) Il ne reste plus qu'à considérer les cas où l'arc mpn (fig. 18) est situé au-dessous de l’axe des abscisses, et tourne sa. convexité vers cet axe. Les deux suites de signes sont

CALCUL, DES RACINES. 245 FER SC EE 2 APE fr

LATE LATE + mx + pe

(B) ee: + UE + — — —, ou

Gr) hate a BARS — Nues + or

Ces éne SAR AE — — —.

On à dans le premier cas pour la limite & Ja>fa+(x—a)f'a+(x—a)ÿ.:f'a fa <fa+(x—a)f'a+(x—a)ÿ .:f"b:

Donc l'arc mn r'v' est supérieur à l'arc mpn dans tout l'intervalle ab,

et l'arc mr est au contraire situé au-dessous de l'arc m pn dans le même intervalle.

Pour la limite b, on a

fax fb—(b—x) f'b+(b—x).:f"a ADO O ft eme fe Où ainsi le premier arc parabolique est au-dessous de l'arc nr pm dans tout l'intervalle «ab, et le second arc est toujours situé au-dessus de cet arc 7 pm.

En posant les équations du second degré qui donneraient, s'ils existent, les points d’intersection des deux arcs paraboliques avec l'axe des abscisses, on conclut que les deux racines sont réelles si l’on a l’une de ces conditions

Gao fasfia

('EY>afb.f'a; et que lés deux racines sont imaginaires si l’on a une de ces deux conditions

(J'aÿ <ofa.f'a

(S'EŸ <ofb f'b.

(45) Dans le second cas où les suites de signes (a) et (b) sont

on trouve pour la limite & fr>fa+(x—a)f'a+(x—aÿ.:f"b fax <fa+(x—a)f'a+(b—xÿ.if"a;

et pour la limite à

fa > fo Ga fb+ (be). f"0 fa << fb—(b—x)f'b+(b—x).rf" a.

Donc les racines sont réelles si l'arc m#+v coupe l'axe, ou si l'arc inférieur partant du point » coupe l'axe, c’est-à-dire si l'on a l'une de ces deux conditions

(f'aY > 2fa.f"b ('2Y > afb.f'b;

et les deux racines sont imaginaires si l’on a l’une des deux conditions ’

(f'a) <2fa.fa ("by <2fb.fa

(46) il est facile maintenant de comprendre tous les cas possibles dans une règle commune, dont l’expression est simple et dispense de toute construction. Il suffit de considérer que si fx est négative, sa plus grande valeur est celle qui contient sous le signe — le plus petit nombre d'unités, et que la valeur minimum de fx négative est celle qui sous le signe — contient le plus grand nombre d'unités. Voici l'énoncé de la règle qui sert à reconnaître la nature des deux racines que l’on doit chercher dans l'intervalle des deux limites «a et 0. - |

On a formé les deux suites de signes qui conviennent aux limites, et l'on suppose que ces limites soient assez approchées pour que les quatre derniers indices soient 0 0 1 2, condition à laquelle il est toujours très-facile de satisfaire. On s'est assuré que les deux racines dont il s’agit ne sont point égales, et ce cas singulier est facile à distinguer. Les valeurs des résultats

FO Ia; "Je PO E 0 ut D

étant connues par l'opération même qui a donné les limites a et b, on mia” les deux propositions suivantes.

° Les deux racines cherchées sont réelles si le carré d’un ne 1 termes moyens fa ou f'b surpasse le double produit du terme placé à la droite de ce même terme moyen, et sur la même ligne, par celui des deux termes extrêmes J'a et f"b qui contient le plus d'unités sous le signe + ou sous le signe —. On a donc ici deux conditions tonte si une seule, et à plus forte raison si toutes les deux subsistent, les racines sont réelles.

2° Les deux racines sont imaginaires si le carré d’un des deux termes moyens fa ou f'b est moindre que le double produit du terme placé à la droite dece même terme moyen, etsur la même ligne, par celui des deux termes extrêmes "a ou f'b, qui contient le moindre nombre d'unités sous le signe + ou sous le signe —. Il en résulte aussi deux conditions différentes : si une seule, et à plus forte raison si toutes les deux subsistent, les racines cherchées sont imaginaires.

Si aucune des quatre conditions que l’on vient d’énoncer n’a lieu ; c'est-à-dire si les quatre conditions contraires subsistent à la fois, on est averti que les limites & et à ne sont point assez rapprochées pour que l’on puisse, par une seule opération, déterminer la nature des racines: on divisera donc l'intervalle a b des deux premières limites, et si, par la substitution d’un nombre intermédiaire, les racines ne sont point séparées, on appliquera de nouveau la règle qui vient d’être énoncée. En continuant cette application, il est impossible que l'on ne parvienne pas promptement à séparer les racines si elles sont réelles, ou à reconnaître qu'elles sont imaginaires.

On trouvera par l'usage de cette règle que l'application en est facile, et il est évident que, par ce contact des arcs de parabole, on parvient à distinguer la nature des deux racines dans les équations où la première approximation fondée sur le contact de la