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a13:4.5 fie.

La loi suivant laquelle ces résultats se succèdent devient manifeste, et l’on connaît ainsi les propriétés générales des approximations d’un degré quelconque. Au reste ces considérations n’ont point pour objet le calcul numérique des racines : les règles spéciales que nous avons données dans les articles précédents ne laissent rien à désirer pour la facilité des opérations. Mais il importait de montrer toute l'étendue de cette théorie des approximations.

(35) La difficulté de distinguer le cas des deux racines imaginaires du cas des deux racines réelles est le point le plus important de l'analyse des équations ; elle exige une méthode propre fondée sur le calcul des limites entre lesquelles les racines sont comprises. Les recherches de Rolle, celles de De Gua, n'ont pu conduire à la résolution numérique des équations, parce qu'elles manquaient d'un caractère spécial pour distinguer les racines imaginaires. Le calcul de l'équation aux carrés des différences a résolu pour la première fois cette singulière difficulté; mais, comme on l'a remarqué depuis long-temps, la solution est purement théorique, et les tentatives que l’on a faites pour la perfectionner ont été presque entèrement infructueuses. Il était donc nécessaire de traiter la question d'une manière différente : nous avons démontré qu'elle admet une autre solution, non moins exacte, et d’une application incomparablement plus facile. Mais il est important de considérer sous divers rapports la question fondamentale dont il s'agit, parce qu’elle se

reproduit dans les récherches relatives aux surfaces courbes, et dans la théorie générale des équations. Nous indiquerons dans les articles suivants les principes généraux qui servent à la résoudre de différentes manières.

Soient F(x) et f(x) deux fonctions algébriques dont les coefficients sont des nombres donnés. Concevons que l’on soit parvenu, en appliquant les méthodes précédemment exposées, à trouver deux limites «& et b entre lesquelles l'équation F(x)=o a une seule racine, que nous désignerons par «: il s’agit de connaître le signe du résultat que l’on obtiendrait en substituant cette racine « dans l’autre fonction f(x).

Si la valeur exacte de « était connue, la question n'aurait aucune difficulté : car on attribuerait cette valeur exacte à la variable x dans la fonction f(x), et l'on connaîtrait le signe du résultat. Il n’en est pas de même lorsque la racine 4 n'est connue que par approximation : car si au lieu de « on substitue une limite & trèsrapprochée de :, on n’est point assuré que le signe de f(a) soit le même que le signe de f(«), et l'incertitude subsiste toujours, quelque peu de différence qu'il y ait entre la racine + et la limite a. Or la question qui a pour objet de distinguer le cas des deux racines imaginaires de celui des deux racines réelles , se réduit à connaître le signe que l’on obtiendrait en substituant dans une certaine fonction f(x) une racine : qui rendrait nulle une autre fonction F(x). En effet prenons pour exemple l'équation

2 — 3ai— 242 + 952 —46x—101—=0,

que nous avons traitee dans les articles 12 et 36 du premier livre. En subtituant les nombres 2 et 3 dans les fonctions

a), FF), fe), PR) f(x),

on a trouve ces deux suites

(rs. + +- — + — 120 168 48 82 30 21 O À Ac be: s