POUR CALCULER LES VALEURS DES RACINES DONT LES LIMITES. SONT CONNUES
ET REMARQUES DIVERSES SUR LA CONVERGENCE DES APPROXIMATIONS ET SUR LA DISTINCTION DES RACINES. 157
(1) Principe de l’approximation linéaire. Méthode newtonienne. rbid. (2) Conditions auxquelles cette méthode doit être assujétie. Question à résoudre. 158 (3) Les limites peuvent toujours être assez rapprochées, pour que l'équation proposée f(x)—0 ayant une seule racine dans l'intervalle, l'équation f'(x)=0 et l'équation f(x) —0o n'aient aucune racine dans ce même intervalle. 159 (4) On connaït par la comparaison des suites si les conditions précédentes sont remplies. Exemple. 161 (5) Lemme [°. Si dans les deux suites comparées les signes des termes correspondants sont les mêmes, cette condition subsistera toujours en
CONTENUES DANS LA PREMIÈRE PARTIE
substituant des nombres intermédiaires quelconques. Lemme Il°. Si, pour un intervalle donné le dernier terme de la série des indices est o, le dernier indice sera toujours nul, quels que soient les nombres intermédiaires substitués.
(6) Approximation linéaire. Démonstration. Valeur approchée plus grande que la racine.
(7) Valeur approchée moindre que la racine,
(8) Comparaison de ces deux valeurs, (9) Convergence de l'approximation linéaire, La différence de deux valeurs
approchées est proportionnelle au carré de la fraction qui mesure la différence des deux valeurs précédentes.
(10) Construction qui représente 1° la valeur approchée donnée par la règle newtonienne, 2° une autre limite nécessaire pour compléter l’approximation.
(11) Cette construction fait connaitre clairement les conditions que suppose l’usage de la règle newtonienne.
(12) On ne doit faire usage du procédé d'approximation linéaire que lorsque les trois derniers termes de la série des indices sont devenus oo 1.
(13) Distinction des quatre cas de l’approximation linéaire. La limite à laquelle la règle newtonienne s'applique est celle qui donne le même signe pour f(x) et pour f(x). Limite extérieure. Limite intérieure.
(14) La construction prouve qu'en rapprochant les limites on forme un intervalle pour lequel les trois derniers termes de la série des indices sont o ox. Du cas singulier où les fonctions /” (x) et f(x) ont un facteur
commun.
(15) Résumé des conséquences précédentes relatives aux conditions qu'il
faut observer en procédant au calcul de la racine.
(16) Règle qu'il faut suivre pour trouver deux nouvelles limites plus rapprochées que les deux précédentes.
(17) Propriétés des cinq limites différentes qui constituent ‘approximation linéaire.
(18) Application au cas élémentaire de l'équation à deux termes. Construction. Conséquences relatives aux chiffres communs aux deux nouvelles limites approchées.
(19) Remarques générales sur les méthodes exégétiques de Viete. Énoncé des questions qu'il faut résoudre pour n'introduire aucune opération
superflüe dans le calcul des racines.
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(20) Règle abrégée pour la division des nombres. Elle cons à déterminer .
avec mue les chiffres du quotient, en introduisant successivement les chiffres du diviseur à mesure qu'il devient nécessaire 4 les.employer.
(21) Remarques diverses concernant cette règle. On peut former le produit de deux facteurs composés d’un nombre quelconque de chiffres sans écrire aucun des produits partiels. Exemples de la division ordonnée.
(22) La règle précédente peut servir à déterminer les chiffres qui expriment la racine de l'équation du second degré. Application à l'équation ® + 765432 x — 123456.
(23) La mème règle pour la division à diviseur variable pourrait être appliquée aux Ro numériques d'un degré quelconque. Application à l'équation x° + 345x— 12.
(24) Règle pour opérer la substitution, dans la fonction proposée et dans les fonctions dérivées, des valeurs de plus en approchées que l'on obtient pour la racine, de manière à éviter les calculs superflus.
(25) On peut éviter le calcul de la seconde limite qui est nécessaire pour définir l'approximation newtonienne en considérant la différence des deux limites. Expression de cette différence. Expression d’une quantité que la différence dont il s’agit ne peut dépasser.
(26) Seconde limite déduite de la considération de la sécante, qui pourrait également servir à définir l'approximation.
(27) et (28) Indication de l'ordre décimal du chiffre du quotient auquel la division doit être arrêtée dans l'approximation newtonienne, afin d'obtenir tous les chiffres exacts qui peuvent être donnés par chaque opération, et de ne pas être exposé à déterminer des chiffres qui n'appartiendraient pas à la valeur de la racine. Loi suivant laquelle le nombre des chiffres exacts donnés par chaque opération augmente de plus en plus.
(29) Énoncé de la règle d’après laquelle on doit procéder à l'approximade la valeur de la racine.
(30) Application de cette règle à l’approximation de la racine réelle de l'équation æ°— 2x—5—o calculée jusqu’au chiffre décimal du trentedeuxième ordre.
(31) Application de l'analyse différentielle au cas le plus simple de l'ap-
proximation linéaire. Relation entre l'erreur d’une valeur approchée et
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CONTENUES DANS LA PREMIÈRE PARTIE
la différence de deux limites dont l’une est déterminée par la tangente en un point voisin du point d'intersection , et l'autre par une parallèle à la tangente au point d'intersection.
(32) Relation finale entre l'erreur w d’une certaine approximation et l'erreur
w” de l'approximation suivante. On trouve w'=——"—, x désignant Do dt
l'abscisse du point d'intersection.
(33) Approximation du second degré. Mesure de la convergence finale. w désignant l'erreur d'une certaine valeur approchée , et w’ l'erreur de la valeur plus approchée qui la suit immédiatement, ona cette relation
2 Wu f'Æ LT NE ES
(34) Expression générale de la convergence de l'approximation qui résulterait d’un contact du troisième ordre, du quatrième ordre, etc., ou d'un ordre quelconque. On ne pourrait point former cette expression par l’anatyse que l'on vient d'employer pour le premier et le second ordre; on y parvient en appliquant la règle qui sert à la résolution d'une équation littérale. On trouve ainsi que l'approximation d’un ordre # devient de plus en plus et indéfiniment convergente à mesure que le nombre z augmente. L'erreur correspondante à chaque opération est le produit de la puissance i de l'erreur immédiatement précédente par
I VAGUE le facteur constant — ">; CES NT PAT LC (35) Remarques générales concernant la distinction des racines imaginaires. La question consiste à connaitre le signe du résultat que l’on obtiendrait en substituant dans une fonction donnée fx une valeur
très-approchée de la racine & qui réduit à Zéro une autre fonction
(36) Si l'on fait abstraction du cas singulier où l’on aurait Fri
question est résolue par les principes démontrés dans le premier livre.
(37) Le mème procédé s'applique aux fonctions d'un nombre quelconque de variables.
(38) Solution de la même question dans le cas singulier où la fonction Fretf x
(39) Exemple de cette solution.
(40) Nouvelle règle pour la distinction des racines imaginaires.
(41) Usage de l'approximation du second ordre pour la distinction des
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racines imaginaires. Premier cas où le signe de f "x est +, et le signe de fx est +.
(42) Conditions générales pour le premier cas.
æ est —, et le signe de fx est +. Condition relatives aux deux limites.
(43) Examen du second cas où le signe de
(44) Examen du troisième cas où le signe de f"x est +, et le signe de fx est —. Conditions relatives aux deux limites.
(45) Examen du quatrième cas où le signe de fx est —, et le signe de fx est —. Conditions relatives aux deux limites.
(46) Énoncé de la règle générale qui sert à distinguer les racines imaginaires par les propriétés du contact du second ordre.
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