h ] dui
A cause de la formule de Green, on peut écrire cette condition
U Ao W cl
Mais U est nulle, par hypothèse, sur les surfaces auxquelles s'étend la seconde intégration. On a donc dans tout le volume
U A^ W dio = 0 ;
Calcol infinitésimal
or cela n'est possible, puisqne U est arbitraire, que si
^, W = 0, ce qui démontre le théorème.
!394. Le problème de l'attraction, a donc toujours une solution. Mais s'il est prouvé qu'elle existe, sa détermination pratique est loin d'être effectuée. Nous ne pouvons pas exposer les importants travaux auxquels ce problème a donné naissance. Nous nous bornerons à faire connaître les résultats les plus simples.
Altractîon des sphères, des ellipsoïdes
ÎÎ95. Nous examinerons d'abord l'attraction d'une couche sphérique sur un point A (a, b, c). La couche sphérique peut n'être pas homogène ; nous supposerons seulement que la densité p en un point ne dépend que de la distance de ce point au centre de la sphère. Soit r cette distance : on peut supposer l'origine des coordonnées au centre de la sphère, c'est-à-dire écrire
r^ = a^ -H &^ 4- c^ rdr =:. ada -\- hdb -H cdc.
Le potentiel V sera évidemment une fonction de la seule distance r et l'on aura identiquement
^N dV a û^ __ ^ ^ r^ — a^ dY
Sa ^r r' ôa^ oJr^ r^ r'^ dr
^ dr^ r dr '
Calculons encore la masse M de la couche sphérique ; si Ro et Ri sont les rayons des sphères qui limitent la couche, on
aura évidemment, en désignant par X le rayon d'une sphère intermédiaire
: / p->Ml,
et si la couche est homogène
Cela posé nous aurons à considérer deux cas.
S96« 1" Le point A ne fait pas partie de la couche sphériqite. On a alors en ce point
c'est-à-dire
ou encore
dr^ r dr '
c et d étant deux constantes arbitraires.
Si le point A est à l'intérieur de la couche sphérique, il pourra être à l'origine, et comme le potentiel est fini, il faudra qu'on ait
Pour calculer la constante c', revenons à la définition
Comme il est constant, on peut supposer le point A à Torigine, c'est-à-dire poser r = X. On a alors
/■ïRl
et dans le cas d'une couche homogène
c' = 47rp / XcVk = 2710 (R^2 R^2) (29)
Le potentiel étant constant, les composantes de l'attraction et l'attraction sont nulles. Donc une masse creuse formée de couches sphériques homogènes n exerce aucune action sur un point situé dans la cavité. Le théorème subsiste si le point est sur la surface intérieure de la cavité.
Si le point A est à l'extérieur de la masse, on sait que le produit V X ?• tend vers la masse M attirante lorsque le point s'éloigne à l'infini. On aura donc
et pour une couche homogène
Donc une masse creuse formée de couches sphériques concentriques et homogènes exerce sur un point placé hors de sa surface extérieure la même attraction que si toute cette masse était concentrée au centre. Le point peut être sur la surface extérieure de la masse.
FORMULE DE GREEN. POTENTIEL 40o
597. 2° Le point K fait partie de la masse attirante. Soient Rg et R, les rayons des sphères qui limitent cette masse
Tl résulte de ce qui précède que le potentiel se composera de deux parties, celui Vi de la couche comprise entre les sphères de rayon r et R, et celui V2 de la couche limitée aux rayons Ro et r : la dernière couche seule exerce une attraction sur le point. On aura
En supposant la densité constante dans toute la masse, on a
ou en simplifiant,
\ = 2T.oK'-\r.c,r'-\^?^. .(31)
On en déduit pour la force attractive
S'il s'agit d'une sphère pleine, Rq = 0 et l'attraction a pour expression
Elle est proportionnelle à la distance du point au centre de la sphère.
598. Il n'est pas sans intérêt de vérifier sur cet exemple simple les propriétés fondamentales du potentiel. V est ici
une fonction de r seulement qui prend, lorsque r varie de zéro à l'infinij les trois formes suivantes (29) (30) et (31). :
pour 0<r<R„ \ = 2r.^ {K^ - ^,%
pour Ro<''<Ri ^ = 2^?(^^'~V- "^j'
pour R, < r < oc V = I 7:p(R,3 R^3) 1 .
Celte fonction est continue comme on le vérifie aisément en faisant r = Rq ou R,^ aux point où la fonction change de forme. Ses premières dérivées, qui représentent l'attraction exercée sur le point A, sont également continues. Mais on
trouve pour les trois formes de -j^ successivement
pour 0 < r < Rq
pour Rq < r < Rj
pour R, < r < 00 0 = ^ ^p (r,3 r^3) i .
Les deux dernières expressions ne sont pas identiques pour r = Ri : la dérivée seconde est donc discontinue. Si l'on calcule AgV^ dans le cas du point A faisant partie de la masse, on aura (n° 297)
Le potentiel, que nous avons trouvé par un procédé indirect, vérifie donc bien l'équation de Poisson.
S99. Nous nous bornerons à énoncer les résultats relatifs à V ellipsoïde. Soit
dr^ ''
4 8 Ro^
l'équation de l'ellipsoïde ; a, p, -^ les coordonnées du point attiré.
Si le poi?ii A est extérieur, Maclaurin a démontré que l'on peut remplacer l'ellipsoïde, supposé homogène, par un autre homofocal au premier et dont la surface passe par le point A : les actions exercées par ces deux masses sont proportionnelles aux densités et aux produits des axes des ellipsoïdes, elles sont dirigées dans le même sens.
Si le point A est intérieur, la composante suivant ox a pour expression „ 47r6c />l t-dt ;
les deux autres s'en déduisent par des changements de lettres. Elles dépendent des fonctions elliptiques ; elles sont proportionnelles aux coordonnées du point attiré. L'intégrale à calculer est la même quelle que soit la position du point.
Potentiels-surfaces
300. On a souvent à considérer en électricité des couches électriques qui sont superficielles. 11 leur correspond des potentiels qui ne sont pas tout à fait analogue aux précédents.
Soit un élément de surface d^ autour du point M de la surface S, et soit k un coefficient attaché à ce point (densité électrique) ; le coefficient k est une fonction des coordonnées x, y, z du point M. L'attraction exercée par l'élément de surface û?S sur une masse-unité placée en A {a, b, c) a pour expression
r^ =.{00 — ay 4- (2/ — &)- -h (-^ — cy, et le potentiel de toutes les actions analogues est la fonction
l'intégrale étant étendue à toute la surface S. Il est facile de vérifier que, si le point A ne fait pas partie de la surface S, ce potentiel jouit des mêmes propriétés que les potentiels-volumes et en particulier que l'on a
301, Il en est tout autrement si le point A est sur la surface.
Je dis d'abord que, même dans ce cas, le potentiel reste fini. En effet il se compose de deux parties, celle V^ qui provient des points de la surface non voisins de A et l'autre V2 qu'on peut considérer comme provenant des points de la surface renfermés à l'intérieur d'un cylindre de révolution dont la trace sur le plan tangent en A sera une petite circonférence de rayon R concentrique au point A. Appelons r^ la projection du rayon vecteur r = AM sur le plan tangent, w l'angle de r et de 7\, fi?Sj la projection de l'élément </S et s l'angle du plan de l'élément d^i avec le plan de projection : on aura
j'i := r ces W
c^Sj = dS cos c
et
k cos o) f/S
Si le point A est un point ordinaire de la surface, les angles co et E seront petits, et la quantité
li cos
sera inférieure à un nombre M fini. On aura donc
Vo < M
Lh-
mais, en introduisant des coordonnées polaires
On a par suite
ou
V^ < 27zRM
Le potentiel V^ est donc fini, et même peut être pris aussi petit qu'on voudra puisque le rayon R du cylindre de révolution est arbitraire. Le potentiel V est donc fini et continu pour tous les points de l'espace, y compris ceux de la surface.
30!^. Examinons maintenant les dérivées premières, et pour simplifier, supposons d'abord la surface agissante plane. Soit oz un axe perpendiculaire au plan, et ox, oy deux axes dans le plan ; nous allons étudier comment se comporte la dérivée par rapport à z lorsque le point A parcourt oz.
Le point M agissant étant dans le plan xoy a pour coordonnées polaires p cos G, p sin 6 et o ; on a alors
Si la différentiation sous le signe / / était permise, on au-
rait
c^V / / kcodpd^
Te , I (p^ + c7^
410 CHAPITRE TX
Posons
rj j # kcj dp f?ô
en limitant l'intégration à un cercle de rayon très petit e, parce que, en dehors de ce cercle, Z est évidemment continue. L'ia-
Me a pour valeur la densité moyenne K dans
. ■■■ le cercle de rayon p :
cette expression peut encore s'écrire, en vertu du théorème de la moyenne,
Z = 27rc K„
Si c est positif, on a (c*) ^ = - ; si c est négatif, (c^) 2 -^
— -.En distinguant ces deux cas par un signe mis comme
indice à la lettre Z, on aura
Z =:2t.kA—1 — T^^^=ô1
Si c tend vers zéro, lune de ces valeurs tend vers 2tcKo et l'autre vers — 2- Ko- La fonction Z éprouve donc une brusque discontinuité lorsque le point A traverse le plan des xy; mais l'on a en tout cas
Z+-Z^=ir.k„ (32)
en désignant par k^ la limite de Kq lorsque e tend vers zéro, c'est-à-dire la densité en M.
Mais, pour tout l'espace où il n'y a pas de discontinuité, on a
~ de ' on a donc à la limite, lorsque c tend vers zéro,
303. Il est presque évident que ce théorème subsiste lorsque le plan est remplacé par une surface qui lui est tangente en 0. On s'on assurerait facilement en considérant la fonction
k (c — z) p dp c?6
•dont la partie principale est, pour ^ et p infiniment petits,
// kcpdpd% J [r + cf
<;'est-à-dire l'intégrale qui vient d'être étudiée. On a donc
Z + — Z=Zi4. — Zj = ^'^kç^, •ou encore, par une notation qui s'explique d'elle-même.
Le point A est supposé traverser la surface suivant la normale.
/x , -p •, . 1 ^ r • F dV dY ,
On venherait sans peme que les dérivées -j-, —j-- sont continues.
304. Si le point A traverse la surface obliquement suivant une direction OL qui fait avec les axes des angles «, P, 7, dY . .. , .. ,.
qu eu lion ?
B bel cl la, vci On a
riciuuii u
e la ueiJivec -
-jj- leiaiivc a ijcin
dY
dl ~
- -y— COS
dûo
dY .
a -t- -y- COS- p
dy ^
dY + ,^-^cosy;
donc
[dlj-h
~ [dij^
Les deux premiers crochets sont nuls en vertu de la continuité des dérivées qui y sont continues ; le dernier a pour valeur — 47r^o, comme on l'a vu au numéro précédent. On a donc
En résumé, le potentiel-surface est une fonction finie et continue dans tout l'espace ; sauf sur la surface agissante où Ton a
^\ __ /dY\ ^ ^^j^ dnj + \dn) ^ "*
Enfin l'on vérifierait aisément, comme pour les potentiels-
lumes, qu vient infini.
dY volumes, que les produits Vr et r^ -^ sont finis lorsque r de-
Polenticls-liffiies
305. Il nous reste à examiner l'effet produit par de la matière active répandue le long d une courbe, d'un fil électrique infiniment mince par exemple.
Nous appellerons e la densité linéaire au point M {x, y, z) ; c'est une fonction connue en chaque point de la courbe. Soit ds l'élément d'arc. Le potentiel-ligne est l'expression
C'est encore une fonction continue des coordonnées du point A, ainsi que ses dérivées, dans tout l'espace excepté peut-être le long de la courbe, ce que nous examinerons dans un instant. On a de plus dans tout l'espace, excepté sur la courbe,
Examinons ce que devient cette fonction lorsque le point A est sur la courbe ; la seule partie du potentiel qui puisse devenir indéterminée est celle due aux éléments de la courbe voisine du point A. Nous considérerons seulement le cas d'une droite limitée au voisinage de A. Soit ox cette droite ; supposons le point A sur oy et soit ■t\ son ordonnée. On a alors
E étant petit. Le théorème de la moyenne permet de faire
sortir e du signe / , en mettant en dehors une valeur e^ comprise entre le maximum et le minimum de e :
ou
= e, log ^^ ^'-,^:i: — L
= 2e. [log (e 4- v/V~+l'2) — log 71 ]
Lorsque yj tend vers zéro, le premier logarithme reste lini^ parce que e ne peut être nul tant qu'il y a de la matière active ; V devient donc infini comme — 2^i log •»). La dérivée devient
inflnie comme — "^ , c'est-à-dire que le produit r^ J— tend
vers — 2(?o, en désignant par e^ la densité au point 0. '
On verrait, par des procédés analogues à ceux déjà employés, que ce théorème subsiste si la droite est remplacée par une courbe qui lui est tangente en 0, et aussi que V tend vers zéro le point A s'éloigne à l'intini.
Nous ne nous étendrons pas davantage sur ces potentiels, moins usités que les potentiels-volumes et nous terminerons le chapitre par quelques considérations sur des fonctions qui se rencontrent dans un grand nombre de problèmes de physique ou de mécanique et qui sont intimement liées à ce qui précède.
Fonctions de Laplace
306. Les potentiels sont, comme nous l'avons vu, des solutions de l'équation
bx- i>i/^ bz^ ^ '
exception faite de certaines régions de l'espace où l'on a A^V == — 47rp. Ce ne sont pas d'ailleurs les seules solutions. Mais leur existence suffit pour montrer tout l'intérêt qui s'attache à l'étude de cette équation. On appelle fonctions de Laplace les solutions de cette équation qui sont des polynômes homogènes, ou plutôt les fonctions de 6 et «? qui en résultent après la transformation des coordonnées rectilignes en coordonnaires par les formules
SG =12 r sin 9 cos «f
y r= ?' sin 6 cos cp \ (36)
z :=^r cos 6
Nous avons vu (l n"^ 111) que cette substitution transforme l'équation (35) dans la suivante
ô^M 1 tr'U 1 'dhi 2 'du cot 6 ôM ç. ,^--
^~^ r'- W- "^ r- sin2 6 ô^ "^ r Sr ~^ ~r^~ ôÔ "" ' ^'
La fonction Y„ de Laplace, ou fonction sphérique d'ordre n, sera une expression homogène de degré w en sin 9 cos ç>, sin 9^ sin cp et cos 9, telle que
soit une solution de l'équation (37). Elle contient 2n -+■ l coefFi-
cients arbitraires ; en effet un polynôme homogène u de degré
(n -h \) (n -t- 2) 71 contient r^ coefficients. Mais ^.^u est de degré
n — 2 et doit s'annuler identiquement, ce qui donne ^^ — ^^— conditions ; il reste donc (^ -^ i) ^jn -j- 2) __ {n-^n ^ ov.2n + i coefficients arbitraires.
307. Les polynômes Y„ vérifient une équation différent tielle facile à former ; il suffit de porter dans l'équation (37) la valeur (38) de u. On trouve ainsi
« {« + 1) Y„ H- oot 6 '^ + '^^ + ^^ 'Hf = 0 (39)
308. Théorème. — Soient Yn et y„' deux fonctions sphériques. On aura, sur la sphère de rayon un,
Y„ Y„' da = 0, (40)
en désignant par di V élément de la surface sphérique.
En effet la fonction Y„ vérifie l'équation (39), qui peut s'écrire
^ . ^ sin 0 rtO \ ôG / sin^O ù^a^ '
de même on a
^ ^ sin 0 «6 \ ô0 / S!n2 0 ôcp^
Multiplions la première équation par Y„', la deuxième par y„; puis retranchons membre à membre. 11 vient
