CHAPITRE III. — DES COURBES PRODUITES, ETC

celte différenlialion conduit à Téquation suivante :

^ ^ ^ I I f\ a \ N I NR^

"~ sin'a R \cos'a sin'a/ D^ cosasina R» '

laquelle fait connaître le rayon de courbure Ri du lieu des positions successives du centre instantané de rotation dans le plan fixe.

123. Problème XI. — Les mêmes choses étant données que dans le problème précédent, trouver le lieu des centres instantanés dans le plan mobile [fig. 48).

Équation du lieu, — Elle s'obtient en prenant pour pôle le point M et pour axe polaire la droite MO, situées Tune et Tautre dans le plan mobile; nous représentons le rayon vecteur MM, parp et Tangle polaire OMMi par vj;; le triangle OMMi donne les deux relations

(i) p^=r^-\^r\, tang^=:-^5

d'après cela, les équations du lieu dans le plan mobile sont

{'') P'=/[(e )?+/'[( 6)]', tang4.=^.

Tangente, — Considérons le lieu, c'est-à-dire la courbe roulante Miv dans une de ses positions; on a, après avoir posé

a, — a = a, vj; = ^> 1^ tangente au point Mi du lieu en

menant une ligne Mi/ formant un angle a avec le rayon vecteur MMi; or les angles a et a^ sont connus : l'un est un des éléments de la question et l'autre a été déterminé dans le problème précédent.

Lorsque la courbe MiV roule entraînant son plan, le point est tel, que, si dans le plan mobile on mène M,0 formant l'angle a avec Mi M, M, passera par un point flxe, le point M décrira la courbe BB'; le point dans le point fixe, pendant le

roulement de la courbe MiV sur la courbe Mifx, est tel, que de ce point on verra la distance du point M au point Mi sous un angle droit. Donc, si dans le plan mobile on décrivait une circonférence sur MMi comme diamètre, dans ses différentes* positions, ce cercle passerait par le point 0.

Rayon de courbure. — Soit ^ ce rayon, on a, d'après le n« 101,

(ïï;^i)=^-«(rR^)

et, comme Ri est connu, le théorème II du n^ 102 donne la construction géométrique de Si, dont on aurait Texpression analytique en substituant dans Téquation précédente la valeur

de jT- tirée de l'équation (5) du numéro précédent.

i2k. Problème XII. — Les mêmes choses étant données que dans le problème X(fig, 48); courbe engendrée par un point du plan mobile, courbe enveloppe d'une droite située dans le plan mobile,

i^ Soient x\;^^' les coordonnées du point N situé dans le plan mobile, par rapport à deux axes rectangulaires menés par le point M, Tun suivant OM et l'autre normalement à OM; soient X et Y les coordonnées du même point par rapport aux axes rectangulaires Ox et 0^ menés par le point 0, on a

( X = (r-+-^')cosô — j'sinQ,

( Y = (r-^- a:')sin9 -^ x' cosO;

les seconds membres sont des fonctions de : ce sont donc les équations du lieu décrit par le point N dans le plan fixe.

2® Supposons que la droite MC passe par le point M et forme l'angle i avec MO. Si du point Mi on abaisse une perpendiculaire sur MC, le pied C de cette perpendiculaire sera un point du lieu. Soient OC=:p, et l'angle CO^ == ^t, le triangle OCM donne les deux équations

(o) P' ^ psin(fl-0 ,

^^ sini ~ sin(z-f- — 4^0 sin(0 — v^,)'