CHAPITRE III. — DES COURBES PRODUITES, ETC. sSg

située sur une courbe donnée BB' et elle passe par un point jixe 0; cette droite entraîne avec elle un plan qui lui est inva-

Fig. 48.

riablement lié et parallèlement au plan de la courbe BB', lieu des centres instantanés Mi de rotation de ce plan mobile.

Équation du lieu. — Soil r=^f{9) Téquation polaire de la courbe BB' par rapport au point comme pôle et à une droite fixe, a Tangle du rayon vecteur avec la tangente au point M, z Tangle de cette tangente avec Taxe fixe. Si Ton représente par les mêmes lettres affectées de l'indice i les quantités analogues dans la courbe cherchée rapportée au même pôle et au même axe, et que par les points et M on élève des normales, Tune à la droite OM et Tautre à la courbe BB', leur point d'intersection Mi sera un point du lieu. Soient OMi le rayon vecteur représenté par r,, 0, l'angle qu'il fait avec 0^; le triangle OMMi donne les relations

donc les équations du lieu cherché seront „., . = g, « = «,-!.

Tangente. — Soient R el N, R„ Ni les rayons de courbure

26o LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

et la normale de la courbe BB' et du lieu; 5, Si les arcs correspondants de ces courbes, on a

. da II

or, d'après ce qui précède, on a les relations

dl dr de

cota = -jt, ? cotai =

rde' """^'-rfr

de

La dlfférentiation de la première par rapport à s donne, en ayant égard à la seconde, l'expression suivante

da sin'a cosa ,

— =z (cota— cota,);

as r

en égalant les deux valeurs de -r- > on obtient l'équation

N (3) (cota, — cota) = —

sina cosa qui, écrite sous la forme suivante :

Rsina tang«. = - ^— g,

R cosa H

cosa

donne une construction géométrique facile de la tangente» Rayon de courbure. — Écrivons la relation

//\ ^--L JL

^*^ ds, ~"K, N,

et différentions l'équation (3). Si l'on remarque que les équations (2) et (4) peuvent s'écrire sous la forme

rfcoia I / 1 I \ d cota

ds

I /i i\ rf cota, cosa / i jt\

^ ^ïn^ \N "" R/ ' ds ■"' sïïï^ \K "" K)