CHAPITRE III. — DES GOUBBES PRODUITES^ ETC

réquation du lieu sera donc

(8) V = ke'"^^~'^^') cos^,.

Si la droite est parallèle à OCi et à une distance p du point 0, on trouvera, pour Téqualion de Tenveloppe,

(9) v=:p-i- kcos^ie

126. Problème XIV. — Les mêmes choses étant données que dans le problème X, moins la courbe directrice BB', déterminer le mouvement du plan mobile par la condition que le complément de l'angle des normales qui déterminent le centre instantané soit proportionnel à l'angle polaire de la courbe BB' (Jig. 48).

La condition du problème est (1) ^ = me;

conséquemment Téquatioa différentielle de la directrice est

dr sinmO

rdO cosmô'

on aura donc, a étant la constante d'intégration, les trois équations

r =acos "^mOy

(3) ( r, = atangm ( 01 | cos ^^mio^ b

p i=acos ^ '^J^y

pour représenter: la première la courbe directrice; la seconde le lieu des centres instantanés dans le plan fixe; la troisième le lieu des centres instantanés dans le plan mobile. Cas particuliers. — 1** Si m = — i, on trouve

r = acos6, r, = acos0i, p = a;

la première est un cercle de rayon - qui passe par le point 0,

la seconde est ce même cercle, et la troisième est un cercle qui a son centre en M et un rayon double. Ainsi le mouvement du plan mobile est le mouvement hypocycloïdal qui est déterminé par le roulement d'un cercle sur un cercle de rayon double du rayon du premier cercle.

2° Si m = i, on trouve le mouvement considéré dans le n« 121.

3® Si m = — 2, on trouve les trois équations suivantes :

la première est la lemniscate et la dernière la parabole bicarrée.

4** Si m = 2, on obtient le système des trois équations suivantes, dont la première représente une hyperbole équilatère :

x^^=a*{x''-hx^)'

Sans poursuivre plus loin cette discussion, on voit que la courbe polaire, représentée par la première des équations (3), que nous avons déjà étudiée (n** 109) comme courbe roulante et qui a produit des roulettes d'un grand intérêt, engendre des courbes non moins intéressantes lorsqu'on l'étudié comme courbe directrice] du mouvement d'un plan, par cette condition qu'une de ses droites passe par un point fixe et qu'une de ses extrémités s'appuie sur cette courbe. MM. Serret et Bonnet avaient déjà signalé d'autres propriétés remarquables de cette courbe.