CHAPITRE lY. — DES COURBES RÉSULTANT, ETC

rayons de courbure des courbes (o*) sont nuls, elle devient

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i . sinfg, — (Xi) I sin[gV^--g(')]

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Théorème I. — Si un polygone est tel qu'en se déformant ses côtés pivotent autour de points situés en ligne droite et que ses sommets décrivent des courbes quelconques, il existe une relation linéaire et homogène entre les courbures de ces courbes aux points correspondants.

Théorème IL — Si un polygone est tel qu*en se déformant ses côtés pivotent autour de points situés en ligne droite, et que ses sommets moins un décrivent des lignes droites, le der^ nier sommet décrira aussi une ligne droite,

151, Conclusion générale du Chapitre. — Les problèmes 1, III et IV donnent la solution complète du mouvement d'une figure qui se déforme d'après une loi donnée. En efifet, quelle que soit la loi de déformation, le mouvement de chaque point considéré comme intersection de deux courbes variables est déterminé de telle sorte que le mouvement de ce point se fait sur une courbe déterminée, puisque ce point ne peut pas parcourir deux chemins à la fois, et que les rapports des déplacements infiniment petits que les divers points effectuent simultanément se trouvent déterminés; par suite , on connatt aussi la courbe qu'enveloppe une droite qui joint deux de ces points et réciproquement.

Cela posé, prenons trois points A, B, C et les droites qui joignent ces trois points ; d'après les conditions du mouvement de la figure, les courbes décrites par ces points et celles enveloppées par deux de ces droites sont connues. Lès problèmes (I), (III) et (IV) permettront de connaître le mouvement de tel autre point de la figure et de telle autre diagonale. Ainsi les courbes parcourues par tous les points et les enveloppes de toutes les diagonales sont connues.

Du moment qu'à chaque instant tous les points de la figure

3l8 LIVRE II — COURBES RAPPORTÉES A DES StSTÈMES, ETC.

variable peuvent être connus, on peut à cet instant construire tes courbes qui sont déterminées par cette condition de passer par deux, trois, quatre, cinq de ces points, etc., telles que droites, cercles, paraboles et coniques, courbes variables d'un instant à Tautre.

Les conclusions qu'il y aurait à tirer seraient très-nombreuses. Telle ligure dont on connaît le mouvement de trois de ses points et les enveloppes de deux des diagonales joignant ces points fait connaître les courbes décrites par une infinité d'autres points qui, ne faisant pas partie de la figure variable, sont liés avec elle, tels que : intersections des tangentes et des normales, etc. L'un des trois problèmes qui servent de fondement à ce Chapitre suffira pour résoudre la question qui se présentera dans chaque cas particulier,

11 en résultera des théorèmes nombreux qu'il n'entre pas dans notre plan de développer, mais que le lecteur saura luimême retrouver. C'est ainsi que, dans le cas du polygone relatif aux théorèmes du n® 149, non-seulement les côtés pivotent autour des points, mais encore les diagonales, et que, dans le cas du polygone relatif aux théorèmes du n® 150, nonseulement les sommets, mais les intersections des diagonales décrivent des lignes droites, etc.