DES COURBES CONJUGUÉES SUIVANT LEURS RAYONS VECTEURS
§ I. — Principes.
153. Des courbes ^1, St,,,.^ Sn sîtaées sur un même plan sont dites conjuguées suivant leurs rayons vecteurs lorsqu'une ligne droite variable autour d'un point fixe détermine sur chacune de ces courbes des rayons vecteurs comptés à partir de ce point, lesquels satisfont à une relation constante entre ces rayons. Les points Ai, As,..., A» déterminés par cette droite sur ces différentes courbes sont dits points conjugués.
Problème I. — Connaissant la loi diaprés laquelle n courbes sont conjuguées suivant leurs rayons vecteurs^ trouver la loi d'après laquelle les tangentes à ces courbes aux extrémités de ces rayons sont conjuguées entre elles.
Formules générales. — Soient les n courbes planes correspondantes rapportées à une origine comme pôle et au même axe polaire Ox^ et la loi suivant laquelle les rayons vecteurs r,, rj,. . ., r» sont liés entre eux exprimée par l'équation
(r) F(r,, r„ r^,. , ., rn)-~a,
F étant une fonction quelconque et a une constante.
En conservant les notations employées dans le cours de cet Ouvrage et les lettres dénuées d'accent se rapportant à une courbe quelconque, on aura les relations
dr , rd(ù dr
(2) cosa—-;-? sina=— 7~9 cola = --7-; ' ds ds rd(ù^
(3) dsTTi^Rde, rfw=rfe-— rfa.
Loi des tangentes. — Si entre la seconde des équations (2) et les équations (3) on élimine de et dsy on aura la relation
(4) rfa = ( 5—. : 1 rfw,
^^' \Rsina /
et, en ayant égard à la troisième des équations (2),
(4', rf« = ('5i!if\:^;
^^ ' \R r / cosa
or, si Ton dififérentie Téquation (r) et qu'on élimine les dr au moyen des n équations contenues dans le type représenté par la dernière des équations ( 2 ), on aura la relation
d¥ r -j- cota = o, dr
le signe 2 s'étendant à une série de termes que Ton obtient en affectant successivement les lettres r et a de tous les indices, depuis I jusqu'à n.
Si l'on représente par A le point où le rayon vecteur r coupe la courbe Sy par N le pied de la normale, l'équation précédente peut s'écrire sous la forme
[n') * \ ONx -j-cosa--o.
L'équation [n) fait connaître la loi d'après laquelle sont conjuguées les normales aux n courbes, dételle sorte que, si toutes ces normales moins une sont connues, on connaît la dernière.
L'équation [n') donne la loi géométrique d'après laquelle on construit par la Géométrie une normale quand on connaît toutes les autres. Cette loi se traduit par le théorème suivant :
Théorème. — Si n courbes sont conjuguées suivant leurs rayons vecteurs par la loi V = a, et que dans la direction des rayons vecteurs on construise^ à partir du pôle et pour chaque courbe, des longueurs proportionnelles à la dérivée de F par rapport au rayon correspondant, fa somme algébrique
