INTRODUCTION

I. L'accueil favorable que les géomètres ont fait à VJnaly^e infinitésimale des courbes tracées sur une surface quelcon-que, que nous avons dernièrement publiée, nous détermine à publier sans retard V Analyse infinitésimale des courbes planes. Ces deux Livres ont des relations tellement directes Tun avec l'autre» qu'ils sont en quelque sorte inséparables» C'est dans le même esprit qu'ils ont été écrits, c'est la même doctrine qu'ils contiennent; nous pourrions dire qu'ils forment un seul et même Livre, s'ils n'étaient indépendants l'un de l'autre par la méthode et par la démonstration.

Ceue diversité de procédés, cette indépendance de raisonnement nous étaient imposées par de puissantes raisons.

Au point de vue de la logique, il faut qu'une doctrine se développe dans l'ordre naturel ; l'ordre naturel du premier Livre, abordani d'emblée le problème général des courbes tracées sur une surface quelconque, consistait à descendre du composé au simple; l'ordre naturel du second Livre, destiné à donner la solution du problème des courbes planes, consiste au contraire à s'élever graduellement du simple au composé.

Au point de vue des idées, une doctrine affirme sa puissance lorsque, par ses considérations diverses, elle se montre toujours la même.

Au point de vue des formes, elle devient attrayante lorsqu'elle pare son unité par la variété des méthodes.

XTI INTRODUCTION.

IL La doctrine développée dans notre Analyse des courbes tracées sur une surface est fondée sur deux principes qui, rigoureusement, n'en forment qu'un. Le premier est que, lorsqu'une ligne est décrite sur une surface, il faut dans l'étude de cette ligne exclure tout élément étranger à la surface. Il est en effet inutile, lorsqu'on chemine sur une surface, d'aller chercher ailleurs des jalons pour connaître le chemin qui a été parcouru. Or, lorsque l'on rapporte un point de la surface à des coordonnées qui ne lui appartiennent pas, seraient-elles les plus simples de toutes, telles que les coordonnées rectilignes, que fait-on autre«chose qu'établir des points de comparaison en dehors de la surface elle-même? Rien n'est plus illogique que ce procédé; mais, en prenant des points de repère sur des surfaces différentes de celle dont il s'agit, il se produit un double inconvénient : le premier est que ces points de repère ne s'introduisent pas seuls, ils entraînent des éléments qui appartiennent à ces surfaces, ces éléments parasites alourdissent la marche du calcul; le second est qu'ils masquent par leur présence les éléments qu'on a le plus d'intérêt à manier, ceux qui appartiennent à la surface elle-même. Be ces considérations, il résulte que c'est sur la surface elle-même qu'il faut prendre les coordonnées auxquelles la courbe que l'on étudie doit être rapportée.

Il est vrai qu'il n'est pas facile de rapporter une ligne tracée sur une surface à d'autres lignes également tracées sur la surface; mais, parmi ces courbes, il en est qui présentent des caractères exceptionnels de simplicité, qui jouent sur la surface le même rôle que la ligne droite remplit sur le plan. Ces lignes, qu'on appelle gpéorf^^/çwe^, se présentent d'elles-mêmes pour remplir les fonctions de lignes coordonnées, par suite de deux propriétés spéciales, qui sont : la première, une propriété projectiveà l'instar de celle dont jouissent les contours rectilignes ; la seconde, une propriété angulaire, analogue à celle qui appartient à la somme des angles des polygones formés par des droites. Nous avons montré surabondamment dans notre premier Ouvrage le parti que l'on peut tirer de ce système de coordonnées; nous avons montré aussi que l'on pouvait quelquefois se servir dans le même but des lignes de

INTMDCCTIOlf. XTII

courbure et de quelques autres lignes possédant des avantages spéciaux, suivant la nature de la surface.

III. Le second principe sur lequel est fondée notre analyse des lignes décrites sur une surface quelconque est que, pour l'étude des lignes, il convient d'exclure tout élément étranger à ces lignes; mais ici se présente une difficulté provenant de Toption qu'il y a à faire entre deux partis qui présentent chacun un avantage réel.

Lorsqu'on ne fait intervenir dans la représentation d'une ligne par des équations aucun élément étranger à cette ligne, deux équations simples suffisent: la première donnant le rapport de l'élément curviligne de la courbe à la déviation qu'éprouve cet élément lorsqu'on passe d'un point à un point infiniment voisin; et la seconde donnant le rapport du même élément curviligne à la déviation du plan qui contient deux éléments curvilignes consécutifs, lorsqu'on passe d'un point à un point infiniment voisin. Ces deux équations, dans lesquelles les seconds membres 3ont des fonctions, soit de l'arc, soit de la déviation intégrale, définissent complètement la courbe en elle-même, et ne renferment aucin élément étranger à cette courbe. Ce sont les deux équations élémentaires de la courbe; mais il arrive alors que la surface qui la contient se trouve complètement éliminée : ce qui revient à renoncer, par cela même, aux avantages qu'elle peut introduire» et qu'elle introduit réellement, pour la simplification du calcul, lorsqu'on lui fait jouer un rôle direct.

On est donc conduit à faire intervenir directement la surface dans le calcul; dans ce cas, une seule équation suffit pour représenter la courbe. On aurait intérêt à conserver ^ans altération l'une de ses deux équations élémentaires, pour n'introduire aucun élément étranger à la courbe; mais la chose n'est pas possible. Il faut que la présence de la surface s'accuse par une légère modification qui pénètre dans la première de ces deux équations,'sans toutefois en oblitérer la forme. Il suffit de prendre pour équation le rapport de l'élément de la ligne à la projection sur le plan tangent, de la déviation qu'éprouve cet élément quand on passe à un point infiniment voisin pris

XI IliniODUGTIOIV.

données de la définition se trouvent masquées, et Ton arrive à ce résultat anormal que la tangente et le cercle osculateur sont déterminés par des éléments différents de ceux qu'il con* venait d'introduire, et que ces belles relations qui existent entre les éléments d'une' courbe et les éléments correspondants des lignes coordonnées appartenant à la définition de la courbe, relations qu'on avait tant d'intérêt k connaître, nous devrions dire qu'il était indispensable de connaître, sont précisément celles qui sont le plus cachées par suite de l'emploi inopportun d'un système de coordonnées différent de celui qu'il fallait choisir.

Ces considérations prennent une nouvelle force lorsqu'on les applique à la rectification et à la quadrature de la courbe, lesquelles sont toujours simplifiées lorsqu'on les fait dépendre de la rectification et de la quadrature des lignes coordonnées dévoilées par la définition de la courbe.

YI. Ces raisonnements seront mis dans une plus grande évidence par quelques exemples. Lorsque Ton définit l'ellipse par cette propriété que la somme des distances d'un de ses points à deux points fixes est constante, fait-on autre chose sinon qu'exprimer une relation entre un de ses points et une certaine longueur constante; on affirme que tout point de la courbe est l'intersection de deux cercles dont les centres sont deux pointsfixes, et dont la somme des rayons égale la longueur constante donnée^ Le système des lignes coordonnées sera le système de deux cercles ayant leurs centres en des points donnés, et dont les intersections peuvent prendre toutes les positions possibles dans le plan, par suite de la variation des xieux rayons. Les deux rayons variables ou paramètres sont les coordonnées du système. Comme le système de coordonnées bicirculaires à centres fixes et à rayons variables correspond à la définition précédente de l'ellipse, c'est aussi celui qu'il faut adopter dans le cas actuel.

Celui qiH, restant fidèle à la définition précédente de rellipsé, voudrait vérifier si un des points de cette courbe, supposée tracée, lui appartient réellement, celui-là serait Torcé de construire deux cercles du système bicirculaire pour

IRTRODUCTIOIf. III

montrer que ce point est leur intersection ; comme aussi, si, après avoir trouvé Téquation de l'eiiipse dans le système rectiligne, il voulait la vérifier d'après la définition, il serait obligé de meure en évidence les équations des deux cercles pour montrer qu'elles ont une solution commune avec l'équation de l'ellipse. Or cette vérification intuitive dans le cas du système bicirculaire n'est point évidente dans l'équation cartésienne de l'ellipse, dépouillée de radicaux; et si l'on persiste à se servir de cette équation, sans faire cette vérification, on détermine les points de la courbe par des conditions différentes de celles de. la définition.

Passons maintenant à la tangente et au rayon de courbure de l'ellipse. Une première différentiation de l'équation de la courbe, écrite dans le système bicirculaire, apprend que la normale à l'ellipse est bissectrice de l'angle des normales des cercles coordonnées; et une seconde différentiation apprend que le rayon de courbure de l'ellipse et les segments interceptés sur ce rayon par les perpendiculaires menées des deux centres des cercles coordonnées aux rayons correspondants satisfont à la division harmonique. Or, lorsque l'on différentie une première et une seconde fois l'équation rationnelle de l'ellipse écrite en coordonnées reclilignes, d'après la même définition, on arrive très-certainement à déterminer la tangente et le rayon de courbure de cette courbe, mais c'est au moyen d'éléments différents, étranger^ à la définition, et les deux belles relations qui existent, la première entre les normales de l'ellipse et des deux cercles coordonnés, la seconde entre les rayons de courbure de ces trois lignes, se trouvent plus ou moins obscurcies, de sorte que les avantages que Ton retire de l'emploi des coordonnées rectillgnes, et qui sont principalement relatifs au nombre d'intersections de la courbe avec une droite, sont loin de compenser les avantages qui appartiennent aux coordonnées de la définition. En effet, ces coordonnées font connaître tout ce qui intéresse non seulement la conique définie, mais encore la série des coniques hômofocales que l'on obtient par la variation de la constante qui représente la somme des deux rayons, parce que les équations différentielles que l'on obtient, ne renfer-

XXII INTRODCGTIOir.

mant plus celte constante, évanouie par l'acte même de la différentiation, appartiennent à Tune quelconque des équations de la série de ces coniques.

VIL Supposons maintenant que Tellipse que nous venons de considérer eût été définie par cette condition que la distance d'un de ses points à un point fixe est dans un rapport constant avec la distance de ce point à une droite donnée. Dans le cas actuel, le système de coordonnées conforme à la définition de la courbe est d'une part une série de cercles dont te centre commun est te point Gxe, et de l'autre une série de droites parallèles à la droite donnée. La difTérentiation de l'équation de la courbe dans ce système de coor* données conduit à la propriété de la tangente corrélative à la nouvelle définition de la courbe, savoir, que la tangente en un de ces points, la polaire de ce point par rapport au point fixe, considéré comme un cercle d'un rayon infiniment petit, et la droite fixe, sont concourantes en un point. Cette nouvelle propriété de la tangente fait connaître la construction de celte droite, non moins élégante que celle qui a été précédemment trouvée, et elle s'applique d'ailleurs au cas où le point fixe serait remplacé par un cercle doublement tangent à l'ellipse, et la droite donnée, par la corde des contacts.

Une seconde différentiation de l'équation de la courbe conduit à une équation binôme qui exprime que, si du point fixe on mène une normale commune à l'ellipse et à la droite donnée, elle intercepte sur la normale à l'ellipse au point considéré un segment qui est lié avec le rayon de courbure, par cette condition que si l'on projette ce rayon de courbure sur la normale au cercle, et celle projection sur la normale à l'ellipse, on obtient le segment dont il est question. La construction du rayon de courbure qui résulte de celte belle propriété est digne d'être remarquée.

Ces deux propriétés, qui se mettent d'elles-mêmes en évidence lorsque l'on se sert des coordonnées indiquées par la définition de la courbe, sont cachées lorsque l'équation de la courbe, définie comme nous venons de le faire, est exprimée en coordonnées rectilignes. Aussi^ bien que plusieurs auteurs

. INTEODCCTION. XXIII

aient considéré les coniques d'après la définition précédente qui nous a été léguée par l'antiquité, ils ne sont pas arrivés aux deux règles si simples que nous venons de donner, non par Timpuissance de leur talent, mais par celle de la méthode.

VIII. Remarquons encore ici que ces deux propriétés appartiennent à tQutes les coniques de la série obtenue en donnant toutes les valeurs possibles au paramètre constant qui exprime le rapport des distances d'un point de la courbe au point fixe et à la directrice, par suite de l'élimination qui a été faite de ce paramètre par la différentiation. On arriverait même par là à de nombreux théorèmes qu'il n'entre pas dans notre but de développer ici, nous contentant de citer les deux suivants, d'une haute généralité :

I*» Si une série de coniques ont un foyer commun et une directrice commune, tout point du plan de ces courbes sera tel,» que si Ton prend les polaires de ce point par rapport à toutes les courbes de, la série, ces polaires seront convergentes; ;;.

2? Si du même point on mène des perpendiculaires à ces différentes polaires et qu'on prenne sur ces perpendiculaires, à partir du point des troisièmes proportionnelles d'une part aux diamc^tres parallèles aux polaires, et de l'autre aux distances de. ces polaires aux centres correspondants, les extrémités de ces troisièmes proportionnelles seront en ligne droite; celle qui correspond à la conique qui passe par ce point n'est autre chose que le rayon de courbure de cette conique. On a donc une nouvelle construction du rayon de courbure de la conique.

Ces deux propriétés font connaître la tangente et le rayon de courbure de toutes ces coniques.

Il est inutile d'insister sur l'application de cette doctrine à de nouveaux exemples, celte application étant ordinairement facile et toujours infaillible.

IX. Il convient de voir si le second principe de l'Analyse des courbes, d'après lequel on n'introduit dans cette analyse

XXIT INTmODCOTION.

aucun élément étranger à la courbe, principe qui n'a dû subir qu'une légère restriction pour convenir à la théorie des courbes tracées sur une surface , convient d'une manière complète et absolue à l'Analyse des courbes planes. Si l'on remarque que la courbure de la surface devient nulle lorsqu'il s'agit d'un plan et que la déviation géodésique d'un élément de courbe, par rapport à l'élément qui le précède, se confond avec la déviation proprement dite lorsqu'il s'agit d'une courbe plane, on voit que l'équation de la surface disparaît et que l'équation qui donne le rapport de l'arc élémentaire à la déviation élémentaire en fonction de la déviation intégrale subsiste, et qu'elle suffit pour caractériser la courbe. Ainsi le second principe de l'Analyse des courbes iracées sur une surfacîe s'applique sans restriction aux courbes planes, l'Analyse générale ne se trouve pas modifiée ; son caractère d'unité et de simplicité ne reçoit donc aucune atteinte.

L'équation qui donne le rapport différentiel de l'arc à la déviation en fonction de la déviation totale, outre qu'elle ne renferme aucun élément étrangère la courbe, contient tous ses éléments naturels; car, si on la considère comme un polygone infinitésimal, ce polygone n'a que deux sortes d'éléments, ses côtés et ses angles, et il est complètement déterminé dès que l'on connaît la loi du rapport d'un côté quelconque à l'angle qu'il forme avec le côté contigu; de là résulte que l'expression du rapport différentiel de l'arc à la déviation détermine complètement la courbe. C'est pour cela que nous l'appelons équation élémentaire , équation naturelle de la courbe; comme aussi nous dupipelons coordonnées naturelles, coordonnées élémentaires de la courbe, l'arc et la déviation.

X. Euler a le premier fait usage d'un système de coordonnées analogue au précédent. Ce système se composait des rayons de courbure et des angles qu'ils forment avec une ligne fixe: mais il l'employait non pour étudier la courbe elle-même, mais afin de déterminer plus facilement, dans les problèmes d'une certaine nature, les coordonnées cartésiennes du point de cette courbe, lesquelles s'expriment alors tantôt en fonction de l'arc, tantôt en fonction de la déviation. Nous

nmoDUcnoN. ix?

ne contestons pas le puissant parti que l'on peut tirer des coordonnées élémentaires d'une courbe pour trouver ses coordonnées rectilignes; on peut même généraliser la solution de cette question, comme le lecteur verra que nous l'avons fait dans le courant de cet Ouvrage; mais ce genre dé coordonnées nous paraît avoir son véritable rôle lorsque Ton veut étudier toutes les affections de la courbe d'après son équation naturelle ; aussi est-il entièrement dans notre but de montrer les avantages de cette équation.

D'abord^ comme nous venons de le montrer, elle détermine complètement la courbe ; elle fait aussi connaître d'une manière facile les différentes grandeurs intimement liées avec la courbe elle-même. La tangente en un point est donnée par la déviation intégrale, laquelle n'est autre chose, dans le cas des courbes planes, que l'angle de l'élément que l'on considère avec l'élément initial. Le rayon de courbure est donné par le rapport différentiel de l'arc à la déviation; la longueur de l'arc par l'intégrale de l'expression de ce rapport multiplié par la déviation; le double de l'aire que balaye le rayon de courbure par l'intégrale du carré de ce rapport multiplié par la déviation; l'angle de contingence de la courbe n'est pas distinct de la déviation élémentaire elle-même; les segments interceptés sur la tangente et la normale par une ligne déterminée s'expriment non moins simplement en fonction de ce rapport, de sorte que tout ce qui intéresse la construction de la courbe dépend d'une fonction simple de ce rapport.

Nous avons déjà montré, dans notre premier Livre, avec quelle facilité l'équation élémentaire de la courbe décide la question, si difficile dans toute autre analyse, de l'identité de deux courbes, et qu'elle donne un critérium infaillible; comment elle résout le problème de la classification des lignes par la variation des constantes qui entrent dans l'expression du rapport différentiel de l'arc à la déviation; comment elle dévoile, entre des courbes en apparence très-éloignées, des affinités intimes qui ne dépendent nullement du degré de l'équation cartésienne de ces courbes, puisque ces affinités existent même dans le cas où l'une de ces courbes est algébrique, et l'autre transcendante ; comment enfin elle donne des

IXTI INTRODUCTIOlf.

règles rationnelles pour établir en quelque sorte les diiFérents degrés de parenté des lignes; il est donc inutile d^nsister sur ces avantages.

XI. Il convient pourtant de montrer, par quelques exemples, par quelle voie facile Téquation naturelle de la courbe conduit à la connaissance d'autres courbes qui dérivent de la première, parce que dans la Géométrie tout se tient, touts'enchatne pour ne former qu'un seul tout.

Deux courbes, dont les rapports différentiels de l'arc à la déviation sont en raison constante, jouissent du caractère complet de similitude. •

Deux courbes pour lesquelles ces rapports sont représentés par deux fonctions, dérivées l'une de l'autre par différentiation, sont l'une la développante, l'autre la développée.

Les courbes parallèles correspondent à des expressions de ce rapport différentiel qui ne diffèrent que par une constante.

S'il s'agit de la développée oblique d'une courbe, c'est-àdire de la ligne dont les tangentes coupent sous un angle constant une courbe donnée, le rapport différentiel de la première est une fonction linéaire des rapports élémentaires de la seconde et de sa développée.

S'il s'agit de la développée oblique seconde d'une courbe, c'est-à-dire d'une courbe coupant sous ua angle constant la développée oblique première d'une courbe donnée, le rapport élémentaire de l'arc à la déviation de cette développée oblique seconde est une fonction linéaire dès rapports élémentaires de la courbe donnée, de sa développée première et de sa développée seconde.

Généralement, pour une développée oblique de l'ordre n d'une courbe donnée, le rapport élémentaire de l'arc à la déviation est une fonction linéaire des rapports élémentaires de la courbe donnée et de ses n — i développées.

Les courbes du genre épicycloïdal, qui forment une classe aussi nombreuse que variée, sont pourtant représentées par une équation élémentaire unique, dans laquelle le rapport de l'arc à la déviation çst proportionnel au cosinus d'un angle qui est à la déviation intégrale de la courbe en raison inverse

UITRODUGTIOK. XXTII

des rapports élémentaires de la courbe directrice et de sa parallèle. C'est par suite des valeurs entières ou fractionnaires que présente ce rapport que les courbes ép.icycloïdales sont tantôt algébriques, tantôt transcendantes. Lorsque» la courbe roulante étant toujours un cercle, lacourbe directrice est une courbe quelconque, la loi de Téquation élémentaire ne se trouve pas altérée dans sa forme géométrique, bien qu'elle le soit dans sa forme algébrique, parce que certains coefficients, constants dans le premier cas, cessent de Tétre dans le second.

Les roulettes, qui, depuis Pascal, ont été Tobjet de recherches si étendues et si approfondies, ont une équation naturelle remarquable en ce qu'elle exprime que les rapports élémentaires qui caractérisent la courbe directrice située dans le plan fixe, la courbe roulante située dans le plan mobile et celle qui est l'enveloppe de cette dernière dans le plan fixe, satisfont à la relation harmonique.

Les courbes qui sont l'enveloppe d'un rayon lumineux réfléchi ou réfracté, et qu'on appelle caustiques par réflexion ou réfraction, présentent, quand on les exprime parleur équation naturelle, des lois non moins simples, même lorsqu'on généralise ce problème et qu'on suppose que chaque rayon lumineux est lancé normalement à l'élément correspondant d'une certaine eourbe.

Nous pourrions multiplier les exemples, mais ce que nous venons de dire suffit pour montrer la fécondité de notre analyse et surtout son utilité, qui apparaît principalement en ce que cette analyse dévoile les liens qui unissent les lignes les plus dissemblables, et qu'elle fait converger vers l'unité les diverses lois qui régissent la Géométrie des courbes. Cette Géométrie se montre alors comme un seul et majestueux édifice où tout est ordonné suivant les règles d'une architecture sublime*

XII. Et ce qu'il y a de singulier dans cette manière de traiter des courbes, c'est que ce ne sont pas seulement les relations directes qui existent entre elles qui sont rendues apparentes, mais encore les relations les plus cachées, celles

XXTIII INTHODDCTIOir.

que Tœil le plus exercé serait difficilement parvenu à découvrir. Ainsi, lorsque Ton développe une courbe sur une ligne droite, et qu'on établit entre chaque élément linéaire de la courbe et le rayon de courbure correspondant cette solidarité d'après laquelle le rayon de courbure ne cesse pas d'être normal à l'élément linéaire correspondant, les centres de courbure sont distribués après le développement de la courbe, sur une certaine ligne, l'Analyse fondée sur les équations naturelles des courbes enseigne tout d'abord à traiter intuitivement cette question complexe ; elle dit que le second membre de l'équation naturelle donne l'ordonnée de la courbe cherchée dans le système cartésien, puisque ce second membre n'est autre chose que l'expression du rayon de courbure; elle dit aussi que l'intégrale de ce second membre, multiplié par la déviation, donne l'abscisse de la même courbe dans le même système cartésien ; voilà donc la solution analytique du problème; mais la même Analyse manifeste aussi la nature intime de cette courbe au point de vue cinématique. En effet, elle montre que, lorsque le mouvement du plan mobile qui contient une droite est réglé d'après cette condition que l'extrémité de cette droite s'appuie sur une droite située dans le plan fixe, tout en restant tangente à une courbe quelconque aussi située dans le plan fixe, la nature de ce mouvement est un roulement sur une courbe directrice, laquelle n'est autre chose que le lieu des centres de courbure de la courbe située dans le plan fixe après la déformation de cette courbe, d'après les conditions géométriques que nous avons précédemment indiquées.

On trouverait de la même manière le moyen d'obtenir la solution du problème plus compliqué, consistant à trouver le lieu des centres de courbure d'une courbe donnée après le développement de la première sur la seconde, d'après les conditions déjà établies, et de prouver l'identité de la courbe trouvée avec une courbe obtenue par un problème de Cinématique sur le roulement d'un plan analogue au précédent. Notre Analyse traite le même problème à un point de vue encore plus général, comme nous le ferons voir dans le courant de notre Livre.

IllTftO0UGTIOll. XXIX

XIII. Résumons les avantages principaux de cette Analyse des courbes.

Elle est une dans son principe, dont la traduction analytique donne l'équation élémentaire de la courbe.

Elle est simple par sa méthode, qui rejette tout auxiliaire étranger à la nature de la courbe.

Elle est générale, également applicable aux courbes planes et aux courbes tracées sur une surface quelconque.

Elle est directe, parce qu'elle établit logiquement les propriétés les plus intimes de la courbe, les faisant toutes dériver sans effort de l'équation naturelle.

Enfin, et ce n'est pas son moindre avantage, elle est géométrique, non-seulemen ten ce sens qu'elle donne toute la Géométrie de la courbe, mats parce qu'elle apprend quelles sont sa position, son importance, ses affinités dans la Géométrie aniverselle des courbes.

Une Analyse qui se présente revêtue de tous ces caractères est certainement la vraie, dans le sens le plus large; elle ne demande qu'à attirer à elle les géomètres, à être développée et perfectionnée par les hommes d'un talent supérieur. Si la Géométrie est une mine d'une étendue sans limites, d'une richesse inépuisable, l'Analyse que nous signalons sera entre leurs mains un précieux instrument d'exploitation.

XIV. L'Analyse infinitésimale des courbes tracées sur une surface quelconque est redevable de nombreux perfectionnements au principe géométrique que nous avons proposé sous le nom de principe de la courbure inclinée. Dans l'Analyse des courbes planes, le même principe se prête avec non moins de facilité aux recherches les plus délicates et devient un outil, qu'on nous pardonne cette expression, aussi sûr que maniable pour la démonstration ou la découverte. Il y a pourtant une différence entre ces deux cas, consistant en ce que le principe de la courbure inclinée donne naissance à deux équations dans le premier cas, tandis que dans le second il se traduit par une seule équation.

Considérons un angle situé dans le plan de la courbe, et admettons que par l'effet du déplacement du sommet de cet

XIX IlfTftODVCTIOir.

angle, sar la courbe et dans son plan, les deax côtés viennent à varier de direction, il est évident que la variation de l'angle sera égale à la somme des déviations de chacun des côtés par rapport à la direction primitive. Nous appelons courbures inclinées de la courbe, par rapport à chacun des deux côtés, le quotient de chaque déviation par le déplacement du sommet; les directions de ces deux courbures sont données par les arcs de cercle infiniment petits qui mesurent ces déviations, de sorte que le principe en question s'énonce ainsi : le quotient de la variation de l'angle par le déplacement du sommet est égale à la somme des courbures inclinées de la courbe décrite par le sommet, par rapport à chaque côté de l'angle.

Il résuite de là que, lorsque l'un des côtés reste tangent à la courbe, l'une des deux courbures inclinées devient la courbure propre de la courbe, et que si les deux côtés restent tangents, l'un à la même courbe et l'autre à une série de courbes de même famille coupant la première, comme cela se présente dans tout système de coordonnées curvilignes, la première est la courbure propre de la courbe, et la seconde est la courbure inclinée par rapport aux tangentes des courbes de l'autre série.

Ce principe, qui est d'une grande simplicité, est une source inépuisable de conséquences utiles. Cela n'a rien de surprenant; les principes les plus féconds sont aussi les plus simples. Ce qu'il y a de difficile, c'est moins de les trouver que de les reconnaître, c'est moins d'en donner la formule que d'en démontrer la richesse; établir leur liaison avec les propositions géométriques les plus nombreuses, les plus variées, n'est-ce pas ce qui constitue l'invention proprement dite? Qu'importe de découvrir un diamant, si on le confond avec une pierre ordinaire I

XV. Ce que nous venons de dire suffit pour justifier l'unité de doctrine de l'Analyse des courbes tracées sur une surface et de l'Analyse des courbes planes. Quant à son efficacité, elle apparaît dans l'un et l'autre cas, avec le même degré d'évidence; si la première Analyse aborde des problèmes d'une

IlfTRODUGTIOir. ZXII

plas grande difBeuUé, par suite de la combinaison des éléments de la courbe avec ceux de la surface» la seconde a l'a* vantage de pousser jusqu'à des limites plus reculées la solution de questions relativement plus simples.

En ce qui concerne les différences de ces deux Analyses» elles consistent» comme n(tus l'avons déjà indiqué» dans le mode d'exposition et la marche de la démonstration. Dans le premier cas» le mode d'exposition et la marche de la démonstralion sont purement analytiques» et sont fondés sur une déduction aisée et rigoureuse ; c'est le développement d'une série de conséquences d'un seul et même principe. Dans le second cas, ce mode» cette marche» sont synthétiques; on s'élève successivement du simple au composé» et l'on atteint les cas les plus complexes de la Géométrie des courbes planes ; on atteindrait même» sans grandes difQcultés» les principes rela* tifs à la Géométrie des courbes tracées sur une surface. L'application que nous avons faite de ces deux méthodes» inverses l'une de l'autre» ne sera donc pas sans utilité pour le lecteur.

XVI. Notre nouvel Ouvrage est divisé en trois Livres : le premier relatif aux questions qui peuvent être traitées par les systèmes simples de coordonnées curvilignes» le second relatif aux questions qui dépendent de systèmes de coordonnées composées» le troisième enfin ayant trait au système le plus général de coordonnées curvilignes.

Quels sont les systèmes simples qui se présentent les premiers dans l'étude des courbes? C'est» en premier lieu» le système de coordonnées naturelles dont nous avons déjà parlé. C'est, secondement» le système tangentiel très-voisin du précédent» et qui consiste à regarder la courbe que l'on étudie comme l'enveloppe d'une droite coupant une courbe donnée sous un angle dont la loi est aussi donnée. Les coordonnées sont donc : l'une curviligne» et l'autre angulaire. La première est la longueur d'un arc de courbe donnée, compté à partir â'un point fixe pris sur cette courbe jusqu'au point où elle est coupée par la droite mobile ; la seconde est l'angle que cette miroite fait avec la tangente en ce point à la courbe donnée.

uni IRTEODUGTION.

Le troisième système de coordonnées est inverse du précédent; il consiste à regarder une courbe comme décrite par un point d'une droite qui enveloppe une courbe donnée, la distance du point au point de contact variant d'après une loi donnée. Dans ce système, les coordonnées sont, d'une part. Tare compté sur la courbe donnée entre un point fixe et le point de contact, d'une autre part, la portion de tangente Comprise entre ce dernier point et le point décrivant; la première coordonnée peut être remplacée par la déviation de la droite mobile, à partir d'une position initiale.

Nous avons déjà indiqué les nombreux avantages du premier système de coordonnées ; chacun de ces deux derniers systèmes offre lés avantages suivants : le premier est que le passage de l'un de ces systèmes au système naturel est facile ; le second est que, en faisant usage du principe des courbures inclinées, on exprime facilement tous les éléments de la courbe que Ton étudie, tels que : normale, rayon de courbure, longueur de l'arc, aire balayée par toute droite liée avec un point de la courbe; le troisième, enfin, est que ces deux systèmes peuvent être généralisés et deviennent applicables aux courbes tracées sur une surface quelconque.

XVïl. Dans le second Livre, nous étudions les courbes d'à-

près des systèmes de coordonnées complexes. Ils sont de deux sortes, suivant qu'ils se rapportent à l'un ou à l'autre des deux derniers systèmes de coordonnées simples du Livre précédent.

£n effet, ou bien on se donne une courbe directrice et n courbes rapportées, chacun a la courbe directrice d'après le premier système tangentiel, et il s'agit de trouver les lois d'après lesquelles ces n courbes sont conjuguées entre elles, lois qui régissent leurs tangentes, leurs rayons de courbure, leurs arcs ou leurs aires; ou bien, réciproquement, on se donne la courbe enveloppe d'une droite et les n courbes décrites par n points de cette droite, et il s'agit de déterminer les lois d'après lesquelles ces n courbes sont conjuguées entre elles, lois relatives à leurs rayons vecteurs, leurs tangentes, leurs rayons de courbure, aux arcs et aux aires qui se corres-

IIITBODUCTION. XXXIII

pondent. Ces deux systèmes complexes offrent les mêmes avantages des systèmes simples correspondants, car ils conduisent par la voie la plus directe au système naturel, ils donnent lieu à des formules aussi simples que significatives, enfin ils sont applicables aux surfaces quelconques.

C'est grâce à ces systèmes de coordo/mées complexes que nous soumettons à FAnalyse un grand nombre de problèmes non résolus, parce que l'Analyse cartésienne peut difficilement les atteindre, et que nous obtenons des solutions nouvelles et complètes de problèmes déjà connus ou partiellement traités. Tels sont les problèmes généraux des roulettes, des caustiques, du mouvement d'une figure invariable ou variant par voie de déformation, et la question non moins importante de la transformation des figures par leurs rayons vecteurs, suivant une loi donnée.

Si nous avons longuement insisté sur les applications de notre Analyse, c'est qu'il nous fallait par des exemples irrécu* sables mettre en contraste la méthode que nous suivons avec celles que l'on a suivies jusqu'à présent et que ces applications forment en elles-mêmes, quant à la matière et quant à l'ordre, un corps de doctrine géométrique qu'il est aujourd'hui indispensable de connaître.

XVIII. Le troisième et dernier Livre est consacré à l'étude des coordonnées curvilignes planes quelconques et à l'étude générale des courbes rapportées à ces coordonnées. Nous avions déjà publié en iSSg, dans \e Journal de Mathématiques de Crelle^ une théorie analytique complète de ces coordonnées; mais cette théorie ne pouvait trouver place dans le volume que nous publions, dont la marche est toute synthétique. Il nous fallait trouver dans les deux premiers Livres tous les éléments d'une théorie nouvelle; or la chose ne présente aucune difficulté, notre principe de la courbure inclinée nous donnant la solution complète de ce problème et nous permettant de nous élever d'une manière sûre jusqu'aux formules les plus générales. Il est vrai que la fidélité à la marche nouvelle donne un caractère tout à fait géométrique à cette ihéorie. Nous ne croyons pas que les géomètres aient à s'en

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plaindre, car cette théorie leur présentera un cas nouveau où la Géométrie triomphe des plus grands obstacles par les plus petits moyens, suivant cet aphorisme si connu : Quod tant paucis tant multa prœstat, Geometria gloriatur, et ce qu'ils verront avec intérêt, c'est que le même principe de la courbure inclinée leur permettrait d'établir par une voie tout à fait pareille la théorie complète des coordonnées curvilignes tracées sur une surface quelconque.

En effet, dans Tun et l'autre cas, deux équations fondamentales dominent la question : la première, relative à la différence des variations des angles de contingence géodésique des courbes coordonnées; la seconde, relative à la somme des variations de ces angles. La première équation reste identiquement la même dans les deux cas, la seconde s'accroît d'un terme lorsque l'on passe du premier cas au second, parce que la courbure de la surface s'introduit lorsqu'il s'agit d'une surface quelconque; mais dans les deux théories elles peuvent s'établir de la même manière, en partant du principe de la courbure inclinée. Ces deux équations étant établies, on peut suivre des routes tout à fait parallèles sur lesquelles se trouvent distribuées les mêmes étapes, et atteindre de la même manière les conséquences les plus éloignées qui ont dans les deux cas des formes pareilles.

Il était de notre devoir de signaler ce lien entre l'Analyse des courbes planes et celle des courbes tracées sur une surface; car, s'il est évident que la seconde contient implicitement la première et que les formules que donne celle-là s'appliquent à celle-ci, pourvu que l'on y suppose la courbure nulle, le passage de la première à la seconde n'a pas le même degré d'évidence; mais la possibilité et la facilité de ce passage sont également mis en relief par la méthode que nous avons suivie.

XIX. Voici maintenant l'ordre des matières traitées dans le troisième Livre du présent Ouvrage :

Le Chapitre 1". a pour objet la courbure inclinée, ses composantes et leurs diverses expressions en fonction des lignes coordonnées, et réciproquement.