INTRODUCTION. XXXV

Le Chapitre II est consacré à établir les liaisons fondamen* taies existant entre ces courbures composantes et les angles de contingence correspondants. Ces relations ont déjà attiré l'attention des géomètres à cause de leur simplicité {*).

Le Chapitre III est l'exposition méthodique des propriétés des paramètres différentiels de premier ordre, et du rôle qui leur appartient dans la théorie des courbes.

Le Chapitre IV est relatif à l'étude d'une courbe quelconque au moyen d'un système quelconque de coordonnées curvilignes. Une marche rapide permet d'établir les relations qui existent entre les déplacements effectués sur la courbe et les déplacements correspondants des lignes coordonnées. Ces relations donnent naissance a des théorèmes sur les tangentes, les courbures, les aires, les arcs de la courbe étudiée, et les éléments analogues des lignes coordonnées. Ces théorèmes occupent une place importante dans la Géométrie des courbes.

Enfin le Chapitre V est consacré aux applications des théo^ ries précédentes à quelques exemples choisis, propres à familiariser le lecteur avec le maniement des formules de la nouvelle Analyse.

XX. Dans la voie difficile que nous avions à parcourir, nous avons été guidés par l'exemple des grands géomètres, créateurs ou propagateurs du Calcul infinitésimal. Newton et les Bemoulli, dont les premiers et les plus heureux efforts eurent pour objet l'Analyse des courbes. Mais nous devons un tribut d'éloges exceptionnel à l'Analyse de l'infini du mar-

(*) On nous pardonnera d'extraire du Rapport fait par M.Puiaeux sur notre Analyse des courbes tracées sur une surface quelconque les lignes suivantes :

« Les géomètres connaissent les beaux travaux de M. Tabbé Aoust sur les surfaces et les courbes qu'on y peut tracer. On lui doit en particulier d'avoir introduit sous le nom de courbure inclinée un élément qui donne un grand nombre de théorèmes nouveaux ou qui permet de généraliser des propositions déjà connues. L'Ouvrage de M. l'abbé Aoust sera lu avec fruit par tous ceux qui s'intéressent au progrès de la Géométrie. »

[Res'ue des Sociétés savantes^ t. IV, p. 3.)

XXXYI INTRODUCTION.

quis de rHôpital, dans laquelle l'étude des courbes est faiie d'après des considérations directes, et toujours conformes à la nature des coordonnées indiquées par la question. L'ensemble des faits nouveaux, des formules élégantes, des belles constructions contenues dans ce Livre, qui suivit pourtant de si près la découverte du calcul des infiniment petits, aurait dû maintenir les géomètres dans la voie qui leur était ouverte et qui leur promettait d'importants succès. Ils en furent malheureusement distraits par Tinfluence que prit l'Analyse cartésienne, qui attira tout à elle, par suite de certains avantages prisés beaucoup trop haut. Grâce aux beaux travaux accomplis de nos jours dans la Géométrie infinitésimale et dans la doctrine des coordonnées curvilignes, le retour des géomètres vers les méthodes directes présentées par chaque question a commencé et se poursuivra au profit de la Géométrie.

Puissent le Livre que nous avons déjà publié et celui que nous publions aujourd'hui former un double anneau servant à rattacher les travaux des deux époques si éloignées l'une de l'autre : le second Livre, en complétant les recherches de ces grands géomètres, sur la Géométrie des courbes planes, le premier en montrant l'extension de ces recherches à la Géométrie des courbes tracées sur une surface quelconque !

En nous efforçant de rendre ce nouveau Livre digne, par la méthode, de l'attention des géomètres, nous avons aussi travaillé à donner une forme nette et correcte à nos calculs. Malgré cela, nous n'osons espérer que quelques erreurs ne s'y soient pas glissées. Plus les applications destinées à établir la fécondité d'une théorie sont nombreuses, plus les erreurs deviennent faciles, mais plus aussi elles perdent de leur importance, parce que l'unité ot la simplicité de la méthode les rendent plus facilement reconnaissables.

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