CONSTRUCTIONS PRÉLIMINAIRES

Nous trouverons souvent deux sortes de relations, les premières exprimant que la somme des inverses de certaines longueurs est nulle, les secondes que la somme des inverses des carrés de certaines autres longueurs est aussi nulle» et nous aurons à construire, géométriquement, l'une de ces longueurs lorsque les autres sont connues. Nous allons montrer dans ce Chapitre par quelles considérations on peut effectuer facilement ces sortes de constructions : nous serons par là dispensé d'arrêter, notre marche, lorsque des opérations de ce genre se présenteront sur nos pas dans les différents pro* blêmes que nous aurons à résoudre, et nous n'aurons rien à empruntera des livres étrangers. •

1. Division harmonique d'une longueur, — Lorsque quatre points a, b, c, d (Jig. i) situés sur une ligne droite sont tels

Fig. I.

que les distances des deux premiers au troisième et au qua-

a LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES À DIVERS SYSTÈMES, ETC.

trième forment une proportion, cette proportion est dite harmonique; la longueur limitée par .les deux premiers points est dite divisée harmonîquement |)ar les deux autres points, et ces deux derniers sont appelés conjugués harmoniques par rapport aux deux premiers. •

De ce que deux points c t\d sont conjugués harmoniques par rapporta deux autres a et 6, il résulte que les deux points a et 6 sont conjugués harmoniques par rapport aux points c et d. En effet les deux relations

ca ^a ac bc ■ ^

sont deux formes différentes d'une seule et même proportion.

2. Positions relatives des deux points c, d'harmoniques conjugués de deux points fixes a, b. — Si nous faisons mouvoir le point d à partir du point b vers Tinfini positif, le point conjugué c marche, à partir du point 6, en sens inverse jusqu'au point o milieu de ab; de même, si le point d se meut de b en o, le conjugué c se meut de b jusqu'à l'infini positif.

Si nous faisons mouvoir le point d à partir de l'infini négatif jusqu'au point a, le point c conjugué marche en sens inverse à partir du point o, jusqu'au point a; et si le point d se meuf de a en o le point c se meut de a jusqu'à l'infini négatif.

3. Expression trinôme de la division harmonique. — Soit la proportion harmonique

ac bc

Td~bd'

si l'on rapporte tous les segments au pointa pris pour origine commune, elle devient

ac ab — ne ad ad — ab^

cette dernière relation s'écrit sous la forme

ab ac ad