Calcul des paramètres différentiels. — Le calcul des
CBÂPITRE III. — DES PÀRÀMÈTBES DIFFÉRENTIELS. 383
paramètres différentiels peut être fait de deux manières : ou bien directement, ou bien par voie de transformation.
Le calcul direct des paramètres H, Ht, 6 est le plus simple; il se fait géométriquement d'après la connaissance des lignes coordonnées; donnons quelques exemples de ce calcul.
Coordonnées hirectilignes. — Soit (fig. 76) un système de
Fig. 75.
coordonnées birectilignes, les lignes de la première série passant par le point fixe F, et celles de la seconde passant par le point fixe F'. Soient p et pi les angles que les lignes de la première et de la seconde série font avec la droite fixe FF' dans l'intérieur du triangle FAF'; p et pi sont les coordonnées du système; soient aa la distance FF' et r, r, les' rayons vecteurs AF, ÀFi. Cela posé, si l'on considère les deux triangles infinitésimaux DAF, BAF', on a, en appelant AD, dtr et AB, ddx les deux relations
rfo-rr: rrfpsin(p -4- p, ), rfo", = r, rfpi sin(p + pi);
or le triangle AFF donne
sinpi sinp sin(p -r-pi)'
on a donc
H— 2asinpi, Hi = 2asinp, G'=— 4û'sinpsinpi cos(p-i-pi).
206. Coordonnées bicirculaires. — Soient [fig- 76) deux séries de cercles concentriques : la première ayant F pour centre et r pour rayon; la seconde Fi pour centre et n pour
38{ UTU UI. — GOUOIS PJLPPOETtBS A DS8 GOOftDOIOlÉBS, STG.
rayon; ici les paramètres qui fixent la position du point sont
Fig. 76.
r él n; conservons les mêmes notations que précédemment,
on a
dai = rdp, da= rtdpt;
on a, de plus,
- I Tirfr, , I rdr
2 arsinp Si, pour abréger, on pose
2 ari smpi
M» = V( ''-*-''• + 2a)(r-h Ti — 2a)(r— r, -h2a)(r, — r+ 2a),
on obtient
- i rndr j I rr, rfri
2rr,
207. Coordonnées rectiligne et circulaire. — Considérons {Jig. 77) le système composé de cercles concentriques et de
Fig. 77.
droites passant par un même point. Soit F le centre commun
GHAPITEB m. — DES PÀRAHftTRBS DIFFÉRENTIELS. 385
des cercles de rayon r, et Ft le point de concours des droites formant un angle p avec le prolongement de FFi ; r et p sont les coordonnées.
Conservons la même notation que ci-dessus^ et soit AI l'arc infiniment petit décrit entre deux positions de Ti, on a
sin9 sin(p
donc *
, é/r , Tjrfpt
cos(p, — p) cos(p, — p)
avec les relations
sinpi sinp sin(pi — p)
On en déduit
sincp = - v^r^ — ^a^sin^pi,
( aarcosp, \ i t irdr
,d(Tt=:{ r , , == ] dpi, d(T = == .
\ y r» — 4^' sm'pi / yr' — 4«* sin'pi
Coordonnées polaires, — Comme vérification de ces der* nières formules^ cherchons les paramètres différentiels du système de coordonnées polaires; il faut, dans ce cas, supposer que les points F et Fi coïncident, ce qui revient à poser a nul ; on obtient alors
d(Ti = rdpi, d(T = rfr, cos 9 =:^ o.
208. Calcul par transformation. — Soient [fig, 74) les deux courbes coordonnées données par les (feux équations dans le système cartésien
(2) f{xx) = p, f,(xr) = pt,
p et pi étant les paramètres dont les variations produisent les deux séries de lignes coordonnées. Si Ton résout ces deux
386 LIYRB m. — COURBES RAPPORTtBS À DBS GOORDOmiÉES, BTG.
équations par rapport à a? et à /, on aura les deux relations
(3) x = F(p,p.), ^=F,(p,pO.
Le paramètre pi ne variant pas le long de la courbe pi, et le paramètre p le long de la courbe pi, on aura les expressions des arcs coordonnés
^^^ ^rfp'-U^-^^pV"" ' rfp;-rfp; "^rfp;-"***'
d(T ddi dx dxi dy dyi p,
^ dp dpi dp dpx dp dpi
On connaîtra donc les paramètres H, H^ G en fonctions des coordonnées p et pi, ce qui est la solution complète de la question*
Elle peut aussi être résolue de la manière suivante. Posons
(K^ ^^^^h^ ^^^-^h' dpdp^ dpdp, ^^^ dx-^df^^' dx-^ dy^-^'^'' dxdx^ dydy"^'
équations qui se rapportent aux deux courbes représentées par les équations (2); il en résulte que
(6) cos? = £-, sin9 = ±^ )/h'h',-g'.
Soit dp le déplacement du point A dans une direction quelconque, ix, àjr étant les projections de ce déplacement sur les deux axes des x et des y; si nous prenons la variation de la première des équations (2), on a
Donc, en divisant les deux membres par hds, le second membre devient égal au cosinus de l'angle du déplacement Ss avec» la normale n à la courbe p; on a donc la formule
dp hcos(n,ds)
