CHAPITRE m. — DES PARAMÈTRES DIFFÉRENTIELS

Si le déplacement is est compté dans le sens de la courbe d(Ti, on aura, après avoir opéré de la même manière sqr la courbe/i, les deux équations

dp hs'incf dpx A.sincp

Si l'on compare les équations (i) aux équations (i'}» on en déduira les relations

(8) HA=H,A.= -A-, et, conséquemment,

on pourra donc calculer les paramètres H, Hi, G au moyen des auxiliaires A, A,, g, et réciproquement.

Appliquons ces formules à quelques exemples; mais, avant, remarquons que, l'équation d'une courbe exprimant par voie d'égalité une relation entre un point quelconque de la courbe et une ou plusieurs grandeurs géométriques, cette courbe partage le plan qui la contient en deux régions telles, que la relation ne peut être satisfaite par un point quelconque de l'une de ces régions, par excès pour l'une et par défaut pour l'autre. C'est la première de ces régions qui est appelée région extérieure à la courbe, et la seconde région intérieure. Or nous convenons de compter les normales à une courbe à partir de ce point vers la région extérieure. Cela posé, représentons par n une normale infmiment petite à la courbe coordonnée

Si l'on remarque que les coordonnées de l'extrémité de cette normale extérieure à la courbe sont

^ -4- ncos(n, ^), ^4- ncos(7i, 7*),

le résultat de la substitution de ces coordonnées dans l'équation précédente sera positif; or, en négligeant l'infiniment

388 UYIB III. — C0UEBE9 RAPP0RTÊB8 À DS8 COORBONNÉBS» ETC.

petit d'ordre supérieur, ce résultat est

donc, en y remplaçant les cosinus par leurs valeurs -r^ > ^^>

on obtiendra le produit nh essentiellement positif, ce qui exige que Ton affecte du signe + le radical A.

Donc, suivant qu'il s'agit de la normale extérieure ou intérieure, il faut prendre h avec le signe + ou le signe —.

209. Coordonnées elliptiques homofocales. — Dans ce système de coordonnées, on prend, pour déterminer un point quelconque du plan, une série d'ellipses et une série d'hyperboles, homofocales, dont les équations sont

et dans lesquelles il faut poser

on en déduit les relations

(3') cj? = pp„ cy= v'p'— c'v^c'— pî;

dp ^p'—c"' 4» ^pî — c^'

et, de plus, on trouve que la valeur de cosf est nulle, ce qui revient à dire que le système est orthogonal.

SIO. Coordonnées elliptiques homocjrcliques. — Prenons pour système de coordonnées une série d'ellipses doublement tangentes à deux cercles égaux de rayon /, et une série d'hyperboles doublement tangentes aux mêmes cercles ; on aura les deux équations, e étant la demi-distance des centres des

GHAPITKS III. — BES PARÀMftTUS DIFFÉRENTIELS. 38q

deux cercles,

p* p' -— e^ p- — e* p J Pi — ^ Pi — ^

et, conséquemmenty les équations (3"^) seront

on déduira

rfer»^ (e»-p^)(p»-p;) + /»p; £/p» (p» — e')(Éf^— p;)-H-/»e''

^^ ' ^ dp] (p^—e'){e^^p])-h-l'e*'

dd d(Tx l^ppi

cos© = — <

dp dp, ^ (p'— e^)(e» — pj)-f-/»e»

desquelles on déduit la valeur de cos(p,

. COS<p =

>/{e'-p\){p'- pî) -f- l'p\ )/(p' - e^){p'-p]) + /'p'

'Il est bon de remarquer que 2p représente la somme des tangentes /, t, menées d'un point aux deux cercles, et spi la différence des mêmes tangentes ; on a donc

211. Éléments des lignes coordonnées en fonction des paramètres différentiels. — Nous nous proposons maintenant de calculer les divers éléments des lignes coordonnées en fonction des paramètres différentiels.

Jngle des lignes coordonnées. — Le sinus et le cosinus de cet angle sont donnés par les deux formules

^^^^^Hff' sin9 = gg- v^H4l[--TïS

3gO LIVU III. — COUSBBS KÀPP0KTÊK8 k DBS COOKDOimtBS, BTC.

el la variation de l'angle est donnée par la formule

^^-Lidsi. (.)

j^ire d*un quadrilatère curviligne. — Deux courbes pW, pï^'l de la série (p) coupées par deux courbes p^^\ pV^ de la série (pi ) des lignes coordonnées déterminent un quadrilatère; Taire U de ce quadrilatère a pour expression

HHic/p</p,.

pio)

et, si l'on représente psy^ D une grandeur analogue à la densité et variant avec la position du point, et par V une expression analogue au poids du quadrilatère, on aura

./)U1 np[^)

DHH. </pc/p.,

pH Jp^^)

212. Expressions de courbures propres ou inclinées. — Les formules (6') et (7') des n»* 188, 189 donneront

v/H'Hî- K

dp,

dH,