Courbure de la trajectoire, — Remplaçons dans les

3g6 LITRB III. — G0UBBE8 RÀPP0BTÉB8 ▲ DES GOOBDOBIlÉlés, ETC.

formules (4) les angles de contingence propre ou inclinée par le rapport des arcs aux rayons de courbure propre ou inclinée correspondants, et substituons aux arcs les sinus correspondants qui jeur sont propottionnels d'après les équations (i}» on aura

sinç sinp sina £/(3sin<p

sin(p sina sin(3 siï\(^da

P L, K ds

Les formules (3) et (3'), (5) et (5'] donneraient naissance à des formules analogues que nous nous dispensons d'écrire, et qui toutes donneraient des expressions équivalentes de la courbure de la trajectoire.

217. Courbure inclinée de la trajectoire. — Les tangentes à la série pi des lignes coordonnées coupent la trajectoire sous Tangle (3. Soient 4^^ le rayon de courbure inclinée de cette trajectoire, d^ Tangle de contingence inclinée sous l'angle {3 de cette trajectoire; de même les tangentes de la série p coupent la trajectoire sous l'angle a; soient 4^« et 5« le rayon de courbure inclinée et l'angle de contingence inclinée sous l'angle a de la trajectoire; donc les équations [4] deviendront

,^, sin© sinS sina sin© sina sinô

•Cp L Ri ^« L| K

De là résulte que les extrémités des rayons 4Lp> L,^R,, ainsi que les extrémités des trois rayons ^«, Ri, L», pris avec leur signe et portés dans la direction des éléments ds, d^t, dtr, sont en ligne droite.

Il en résulte des constructions faciles des rayons de courbure droite ou inclinée de la trajectoire au moyen des rayons de courbure droite ou inclinée des lignes coordonnées.

Il est bon de remarquer que, si la trajectoire ds coupe la série (pi) ou la série (p) des lignes coordonnées sous un angle constant, les formules [4] montrent que dans le premier cas les extrémités des rayons P, Li, R, et dans le second cas les extrémités des rayons P, Ri, L sont en ligne droite, pourvu

GHAPiTRB lY. — d'onb courbb qcelgonqub, btg. 3g7

que dans les deux cas les rayons soient portés dans la direction de dSf d^i, d<T à partir du point que Ton considère sur la trajectoire.

218. Expression de la courbure de la trajectoire ds enfonC' tion des variations des arcs coordonnés, — Appliquons la formule (6) du n<* 188 à Tare ds coupé par Tare da^ il faudra considérer le déplacement par rapport à ds comme étant complet et correspondant à la variation d, et le déplacement par rapport à d(T comme partiel et correspondant à la variation d^ ; on obtient ainsi

dsd^ sina , , ,. ,

= d^ds — a(a<xcosa);

or, si l'on remarque que le triangle dont les côtés sont dsy da, ddx donne la relation

ds =z dd cosa H- rfo-, cosp,

que d=.d9-h rfi, le second membre se transforme par suite de ces relations; si de plus on élimine du premier membre ds au moyen des premières formules (i), on tombe sur Téquation aussi simple qu'expressive

(7) p = do(d<Ti cosp) — a,(ao-cosa).

Maintenant, si nous représentons par dcù Taire du quadrilatère curviligne dont les côtés sont da^ dai, par dv et dvi les projections de ses deux côtés sur la diagonale ds, on obtient l'expression non moins simple

I dojdv,) — di(dv)

laquelle conduit à ce théorème, que nous avons fait le premier connaître :

Théorëmb.. — La courbure d'une courbe est le quotient de la différence des variations des projections des arcs coordonnés élémentaires sur la direction de la courbe par Vaire du qua-

SgS Lins lii. — gourbbs AÀPPORTtBs ▲ des GOOftiMiiirÉESy btg.

drilatère de ces arcs coordonnés, ces variations étant prises par rapport aux paramètres correspondant à ces arcs.

219. Éléments d'une trajectoire en fonction des paramètres différentiels du premier ordre et des dérivées de Véquation de la courbe. — Soit Téqualion de la trajectoire mise sous la forme

M=:i|;(p, p,) = COnSt.

Représentons par u', u\ les dérivées de u par rapport à p et pi, on aura Téquation

(a) u'rfpH- tt', djpi = o.

Longueur de Vêlement ds. — Si Ton pose, pour abréger,

K> = H»m7 + Hîa'»- aG'ii'tt',,

la valeur de ds donnée par la dernière des formules (i) conduit, suivant qu'on en éliminera dp ou dpt au moyen de Féquation (a'), aux deux valeurs suivantes :

ds dp rfp,

Direction de l'élément ds. — Les autres formules (i) prennent la forme suivante :

. v/H^H;-G< Htsinp Hsina \

"^ BTcôsô ~" Ml cosp '

ces formules donnent les expressions des sinus et des cosinus des angles a, (3 que la trajectoire fait avec les lignes coordonnées.

Variation de l'angle des lignes coordonnées. — On obtient, par la différentiation de l'équation

C0S9 = gg.,

CHAPnRB IT. — d'une GOUHBE QUELCONQUE, ETC. 899

les deux formules suivantes, qui donnent les variations de 9 par rapport aux paramètres p, pi :

rf / G'\ rf / G' \

d' dp VhH.J dp, \HhJ

(8) y/,gj^ ^ - ^

Courbure de la trajectoire, — Elle résulte de la formule ( 7 ), laquelle donne

V/H'HJ - G*

220. Angle de deux courbes en leur point d'intersection. — Soient les équations de ces deux courbes^ u q\ v étant des fonctions de p et pi,

(9) w = const., c = const.

Soient </5 et d^ les éléments d'arc de ces deux courbes; da^dvi, Sa, d(Ti les composantes obliques de ces deux éléments suivant les lignes coordonnées; oc, ai les angles que ces éléments font avec rfo-, Sa. Soit <p, l'angle de ces deux courbes, on a

(10) cos<pi=:cos{ai — a), sin9i = sin(a, — a);

si Toii développe les seconds membres et qu'on ait égard aux formules (i) relatives à chacun des éléments ds, as, on trouve les deux équations

( dsdscosot = {daS(i -h d(Tià(7i) -h cosolddStTi -h d(Tià(T)y

( dsSss\n(^i=s\ïï(f{d(TS(Ji — d(7ià(T);

or, si l'on appelle Ki ce qui devient K, relativement à l'équation V = const., f ' et if\ les dérivées de v par rapport à p et pi, on a aussi les relations

if — ^— ^

4oO LITU III. — OOUmBBS KlPPOftTtlS ▲ DIS OOOEDORirtBS, 8TG. •

Les équations précédentes donnent

dans lesquelles il n'entre que les paramètres différentiels du premier ordre des lignes coordonnées, et les dérivées partielles des équations des deux courbes ds, ds.

221. Passage d'un système de coordonnées curvilignes à un autre système, — Soit un second système de lignes coordonnées donné par les deux équations

et provenant des variations des paramètres u, v qui fixent dans ce nouveau système la position d'un point. On déduit des équations précédentes les valeurs de p et de pi en fonction des paramètres u et v. Soient ces valeurs

P =/(«»«')> pi=/(", ♦');

les paramètres H, Hi, G relatifs aux variables p et pi sont connus, et la question présente consiste à calculer les paramètres différentiels du premier ordre relatifs aux variables u. Vj paramètres que nous/eprésenions par S, Si ff-

Or> si l'on conserve les notations précédentes, on a, par suite de la troisième des équations (i), les deux relations

rfw* * rftt* du du

d'ane autre part, la première des formules (i i') donne / ax n, TMydfdf ii,àf,df, „,fdfdf, dfdf,\