CHAPITRE V. — APPLICATIONS DES THÉORIES PRÉCÉDENTES

riable, les deux équations

dp -h mdpi = 0, dp-- mdpi = o

jouiront de la même propriété. De là on tire cette proposition générale : Si dans un système quelconque de coordonnées (orthogonal ou non) les paramètres différentiels du premier ordre sont dans un rapport m y les deux séries de courbes données par l'équation

dp*— m^dp] — o se coupent orthogonalement.

229. Des diverses formes de l'équation de la ligne droite. — Nous avons trouvé (n** 218) Texpression suivante de la courbe :

p ^ = dx{d(T cosa) — d^{d(T^ cosp).

Si Ton suppose le système orthogonal et choisi de telle sorte que les paramètres H et H, soient égaux^ on aura

W dR , dE „f , da da\

— - 1= cosa -j sina -3 H ( sina -3 — h cosa -j-

P dpi dp \ dpx dp I

multiplions membre à membre cette équation et la suivante :

dp rfp,

cosa sma

on obtient l'équation

-p- (sinadp -+- cosac/pi) • . f = cos*a-i— api — sm^a-^— «p H- sH'cosasmaaa.

Si Ton suppose que H^ soit la somme de deux fonctions ^^ ^ty chacune d'un des paramètres p et pi coordonnés de telle sorte

4lO LIVRE III. — COURBES RAPPORTÉES À DES GOORBOlfNÉSS, ETC.

que H' = 4' "*" ^^9 ^^ ^^^^ réqualion

. , sin«£/p ~4- cos«c/pi d{^x cos'g — 4* sin'g)

telle est Texpression de la courbure dans le système de coordonnées que nous venons de définir.

Si h trajectoire est une droite, la courbure p étant nulle, réquation différentielle de cette droite sera

rf(4i cos'a — 4 sin'a) i=: o,

dont l'intégrale première sera

(3) 4» cos'a — 4 sin'a = consl.;

telle est la forme de l'équation de la droite dans le système de coordonnées orthogonales, et dans lequel les carrés des paramètres différentiels du premier ordre sont chacun la somme de deux fonctions de l'une des deux variables.

Le même théorème a lieu lorsque les cariés de H et de H, sont de la forme M*(4 4- ^x)y Mî(4(-4- 40» M étant une fonction de p et Ml une fonction de pi.

£n effet, posons

Mdp = du, Mi(/pi = rfwi;

on tire de ces deux équations p en fonction de «i, et pi en fonction de Mi ; conséquemment, si l'on-appelle U et U, les résultats de la substitution de p et de pi dans ^ ^^ 4" ^^ ^^^^

donc l'équation différentielle de la ligne droite dans le système des coordonnées u, u^ sera

U sin'a — U» cos^a = const.,

et, en revenant aux variables p et pi, on aura encore

^|; sin'a — tj't cos*a = const.