CHAPITRE V. — APPLICATIONS DES THÉORIES PRÉCÉDENTES

cercles, on obtient Téquation

rvx = const.,

qui représente l'ellipse de Cassini.

3® Si les forces sont en raison inverse des carrés des tangentes et que les deux cercles soient égaux, on obtient Téquation

const.

4** Si elles sont en raison inverse des cubes des tangentes, on obtient, suivant que les deux cercles sont égaux ou inégaux, tes deux équations

tu]

-"—^ = const., rr,

227. De quelques propriétés coniques. — Comme application du système de coordonnées rectilignes et circulaires considéré dans le n**207, si Ton suppose que le point fixe F, passe à l'infini, le système se composera d'une série de cercles concentriques ayant leur centre en F et d'une série de parallèles; l'équation

dans laquelle m est une constante, r ei p sont la distance du point au centre Fi et la distance à une droite fixe XXi, et u une constante pouvant prendre toutes les valeurs possibles, représente une série de coniques doublement tangentes au cercle de rayon m et ayant la droite XX, pour corde des contacts. Les formules relatives à la tangente à la série de coniques conduiront à cette proposition, savoir: que si l'on considère un point A dans le plan de ces courbes et qu'on prenne les polaires de ce point par rapport aux différentes coniques et au cercle, elles auront toutes un point de concours sur la corde des contacts. Ce théorème donne le moyen de construire la tangente d'une de ces coniques en un point donné. Nous laissons au lecteur le soin d'effectuer ces calculs.

4o8 LITRE III. — C0UKBB8 RAPPOmTfiBS A DBS COOBDONlftES, ETC.

228. Problëxb. — Soient (p) et {pi) les deux séries de lignes coordonnées. Trouver l'angle des deux courbes

w = p -h p, = const.y vz=p — ptzz: const.

Dans le cas actuel, on a

u' = if w', = I ; i'' — I , f ', = — I .

Donc, si Ton se porte au n^ 220> on trouvera

K» = » H- Hî - 2 G% K î =:= H' -+- H ; 4- 2 G» ; par suite, on aura, d'après les formules (ii) de ce numéro,

-H'-f-Hî -h^ + h;

coscpi

>/(H» -f- H?)» - 4G* v/H* -f^ HJ - aH^HJ cosacp

Sous cette forme on reconnaît que, si le système de coordonnées p et pi est tel que les carrés des deux paramètres différentiels du premier ordre soient égaux, Tangle 91 est droit et lés deux courbes u ei v se coupent orlhogonalement, et qu'il en sera de même du nouveau système des coordonnées {u), (v).

Ce cas remarquable se présente dans le système bicirculaire; de là résulte que les deux courbes

p -f- p, = const., p — piz= consi.,

qui représentent deux séries d'ellipses et d'hyperboles homofocales, se coupent orlhogonalement.

On voit, de plus, que cette condition d'orthogonal ité est nécessaire, car l'angle f 1 ne peut être droit que tout autant que le numérateur du second membre de l'équation précédente est nul, ce qui entraîne la condition de l'égalité des carrés des deux paramètres H et H|.

Il est aussi aisé de voir que, si les deux paramètres, sans être égaux, sont dans le rapport constant m, les deux équations

p -h mpi =: const., p — mp, = const.

se couperont orthogonalement, et que, si le rapport m est va-