CHAPITRE I. — GONSTRCCTIONS PRÉLIMINAIRES

ràppon forment une proportion harmonique; donc les seconds

Fig. 3.

termes sont aussi en proportion, et comme Sd est commun, il en résulte que en et cm sont égaux.

La proposition énoncée dans le n" 6 a pour proposition réciproque : Si quatre droites d'un faisceau sont telles, que la parallèle à l'une d'elles soit coupée en deux parties égales par les trois autres, le faisceau est harmonique. Il est évident que cette réciproque est vraie. En effet, on a les mêmes proportions que ci-dessus; or les seconds termes des rapports sont identiques deux à deux; donc les premiers termes forment une proportion qui exprime la division harmonique.

8. Changement d'origine, — Menons la bissectrice de l'angle des deux droites A, B; si Ton coupe le faisceau par une transversale perpendiculaire à celte bissectrice en un point o, les segments interceptés sur cette transversale jouissent des propriétés exprimées aux n®' 3 et 4; or, si du sommet du faisceau on décrit un cercle tangent à la transversale, le rayon de ce cercle étant pris pour unité, les segments comptés à partir du point o expriment les tangentes des angles correspondants à ces segments, et Ton a la relation

(5) tang^(B, 0) = tang(0, C) . tang(0, D). '

Si Ton supposait la transversale perpendiculaire à la ligne A du faisceau en un point a, et que Ton prtt pour origine des angles cette droite A, comme les segments interceptés par la • transversale comptés à partir du point a jouissent de la propriété énoncée au n® 3, les tangentes des angles correspondant

a ces segments jouissent de la même propriété, et Ton a la relation suivante :

fC\ 2 11

^ ' tan8(A,B) iangtA,C) tang(A,D)

9. Divisions harmoniques du quadrilatère complet. — La propriété fondamentale de ce quadrilatère est la suivante :

Dans tout quadrilatère complet y la ligne qui joint le point de concours des diagonales avec le point de concours des deux côtés opposés est coupée harmoniquement par les deux autres côtés.

Soit un parallélogramme abcd et/ le point d'intersection des diagonales, et mn parallèle à ab.

Fig. 4.

Si l'on prend un point quelconque S dans l'espace, et qu'on le joigne avec les points a» 6, c, d,f, m, n, rintersection Si des faces opposées Sdc, Sab et l'intersection Sj des faces opposées Sad, Sbc se trouveront dans un plan parallèle au plan du parallélogramme; cela posé, coupons l'angle solide qui a son sommet en S par un plan quelconque, on obtiendra on quadrilatère complet dans lequel les points a', V, c^, ^\f seront les points d'intersection du plan avec les arêtes Sa, 86» Se, Scf, S/; les points <% y seront les points de concours des