CHAPITRE I. -— CONSTRUCTIONS PRÉLIMINAIRES

côtés opposés de ce quadrilatère. Or si l'on fait passer un plan suivant les deux arêtes S/', Si', ce plan coupera les faces opposées de l'angle solide suivant deux droites Sm', Sn' qui seront les conjuguées harmoniques des deux droites S/', Si', puisque Ja longueur mn est divisée en deux parties par le point/. Donc les quatre points m', n',/', i' sont en proportion faannonique«

Si Ton considère le quadrilatère/', c', i', 6', les trois diagonales de ce quadrilatère complet sont i'f, dh\ a'd\ et les points m', n\j' sont les trois points de concours de ces diagonales prises deux à deux. On a donc le théorème suivant :

Dans tout quadrilatère complet, chaque diagonale est coupée harmoniquement par les deux autres.

10. Construction linéaire d'un segment de la division harmonique. — Proposons-nous de construire linéairement un point b conjugué harmonique d'un point a donné par rapport à deux points cetd aussi donnés.

Prenez un point S quelconque, joignez ce point aux points c et d par des droites, menez du point a une transversale quelconque, joignez ses points d'intersection avec Se etSd aux points d et c par des droites; le point d'intersection de ces deux droites et le point S déterminent une transversale qui coupe le segment cd au point b harmonique du point a.

Celle construction est la conséquence immédiate du théorème précédent.

11. Moyenne harmonique d'un nombre quelconque de seg^ ments. — Si Ton a m points a, 6, c, d,.. . en ligne droite, et qu'on détermine un point p, de telle sorte que l'inverse de sa dislance à une origine fixe o, située sur cette droite, soit la moyenne arithmétique des inverses des m points à cette origine fixe, le segment op est appelé moyenne harmonique des dutres segments, chaque segment devant être pris avec son signe; et le point p est dit centre des moyennes harmoniques. l^'après cela, pour exprimer que le point p est le centre des moyennes harmoniques des m points a, 6, c, .. . par rapport

6 LIVRE I. -- COURBES RAPP0RTfiB8 A DIVERS SYSTEMES, ETC.

au point o, on a Téquation

op oa oo oc ol

Pour construire ce centre des moyennes harmoniques, cherchez le conjugué harmonique du point o par rapport aux points a et b, prenez le milieu b' de la distance de ce point au point Oy cherchez le conjugué harmonique du point o par rapport aux points b' et c, prenez le milieu c' de la distance de ce point au point o, répétez la même construction par rappart aux trois points o, d et d, et ainsi de suite, en répétant chaque fois la même opération; vous arriverez finalement à un dernier point l\ en prenant oV m fois dans le sens ol'; vous obtiendrez le point p qui sera le centre des moyennes harmoniques cherché.

12. Moyenne harmonique d'un nombre quelconque de carrés de segments donnés. — D'après ce qui précède, si l'on a la relation

io\ m ï I I I

op oa ob oc ol

op sera la moyenne harmonique des carrés des segments oa, ob, oc, ., ., ol. Il est évident que celte question se ramène à la précédente, car si l'on décrit un demi-cercle sur le plus grand des segments comme diamètre, que du point o on mène des cordes égales aux autres segments, et que Ton projette les extrémités de ces cordes sur le diamètre en des points p', a', 6', c', . . . , on aura

op' oa' ob' oc' ol'

la construction d'un des segments de cette relation au moyen des autres conduira donc à la construction d'un des carrés de la relation précédente au moyen des autres carrés.

Seconde solution de la question précédente. — Si l'on remarque que les côtés d'un triangle sont inversement propor* tionnels aux distances de ces côtés aux sommets opposés,