DES COURBES RAPPORTÉES A LEURS ÉQUATIONS ÉLÉMENTAIRES

§ I. — Des polygones et de leurs équations.

14. Détermination d'un polygone plan. — Une droite XX' peut être parcourue par un mobile en deux directibons opposées» suivant que le mobile va de X' en X, ou bien de X en X'; la première direction est X'X et la seconde XX'. D'après cela Tangle de deux droites est déterminé dès que Ton détermine les directions de ces droites.

Supposons qu'un mobile parcoure successivement les différents côtés d'un polygone plan, fermé ou non, ce mobile détermine les directions des côtés du polygone ; or ce polygone sera déterminé de grandeur si Ton connaît les longueurs des côtés et les angles que les directions de ces côtés successifs forment entre elles; il sera de plus déterminé de position dans le plan» si l'un de ses côtés se trouve déterminé de position dans ce plan. Ce mode de détermination du polygone est le plus propre à faire connaître sa nature, puisqu'il suppose la connaissance de tous ses éléments : côtés et angles. Un polygone plan peut être déterminé de plusieurs autres manières, par exemple : par les positions des différents côtés, ou bien de ses différents sommets; mais on ne connaît pas alors directement la nature du polygone; ce n'est que par une suite de déductions que l'on parvient à connaître ses éléments, c'est-àdire ses côtés et ses angles.

15. Équations élémentaires du polygone. — Soient A«, Ai, A,,..., A, lJig-5) les sommets d'un polygone; /«, /„ /„ h,..., /, les longueurs de ses côtés; e. l'angle que la direction du côté /« fait avec la direction d'une droite iixe OX située dans le plan du polygone ; l'angle des directions des deux côtés U, /»., sera

CHAPITRB II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC. l3

donné par la relation

or si dans cette équation on donne à n toutes les valeurs pos-

Fig. 5.

siblesy depuis i jusqu'à a, et qu'on ajoute les équations résultantes, on aura

la somme 2 s'étendant à toutes les valeurs de Ar, depuis o jusqu'à n—i.

Représentons par s^ la somme des côtés du polygone, depuis ^0 jusqu'à /n-i y on aura la relation

et en opérant comme nous venons de le faire, nous obtiendrons

le signe 2 s'étendant à toutes les valeurs de A*, depuis o jusqu'à /i—i.

Si le polygone est déterminé, la loi des variations des angles ^^i»-t est connue, ainsi que la loi des variations des côtés, et réciproquement si Ton connatt la loi de la variation des angles 4u polygone et celle de la variation de ses côtés, de telle sorte

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que Ton ait

tn étant une grandeur dont les variations font connaître les variations de en et de *„, / et ^ des fonctions connues, le polygone sera déterminé.

Si Ton considère seulement les polygones pour lesquels la variation Ae„.i est constante, le rapport de A^n^i à A^n-t suffira pour faire connaître tous les éléments du polygone, et si Ton représente par 9(^11-1) ce rapport, on aura

Les équations (3) dans le cas le plus général, et Téquation (3' ) dans le cas où les variations des angles e, sont constantes, déterminent tous les éléments du polygone, côtés et angles ; nous les appellerons les équations élémentaires du polygone. Supposons, par exemple, que Aek soit constant et égal à

A Cl

la m'*'"* partie de 36o degrés, et que le rapport - — soit une

constante a, le polygone sera régulier et de m côtés. Si A e^

, , . 36o , , Asi

restant toujours constant et égal a — 5 le rapport de -r — est

ek égal à a sin — 9 a étant une constante, le polygone aura tous

ses angles égaux et les côtés proportionnels aux cordes que Ton obtient en partageant une circonférence en m parties égales et en joignant l'un des points de division aux autres par des diagonales.

16. Équations du polygone dçLns le système de coordonnées rectilignes rectangulaires. — Soient /•„, scn les distances du sommet A» à un axe OX, mené dans le plan du polygone et à un axe OY perpendiculaire, mené dans le même plan. En projetant le côté Asn^i sur ces axes et en appelant Axn-x, Afn-i ses projections, on aura

(4) A:r„», = A5„-iC0se„-.„ Aj„-, = A^„, sina„„