CHAPITRE I. -^ CONSTRUCTIONS PRfiLIHINAIRES. Q
toute relation homogène entre les côtés existera entre les inverses des distances de ces côtés aux sommets opposés; d'après cela, un triangle ABC rectangle en A, et dont le pied de la perpendiculaire sur l'hypoténuse çst a, donnera la relation
A a' Ab' AC
Donc pour construire le carré de op, déterminé par la relation (8) du présent numéro, menez du point o deux longueurs rectangulaires égales à oa et oh; déterminez la distance b' du point o à la ligne qui joint les extrémités a et b, menez du point o perpendiculairement à ob' une longueur oc et réfêtez la construction précédente, et ainsi de suite, vous trouverez un point V tel que
(lo)
op^ oV^
La question est donc ramenée à construire un carré op qui
soit à un carré donné ol' dans le rapport de m à l'unifé.
Si la somme des inverses des carrés donnés était algébrique, on construtraii deux iQngueurs o>, Ojui, telles que l'inverse du carré de la première fût égale à la somme de*s inverses des carrés affectés du signe + et que l'inverse du carré de la seconde fût égale à la somme des inverses des carrés affectés du signe —, la question serait ramenée à construire ol' tel que /' satisfasse à la relation
oV ol OfjL
or, si du point o comme centre avec un rayon égal à ol, on décrit un cercle, qu'on mène une tangente à ce cercle et qu'ensuite on conduise du point o deux obliques sur cette tangente, l'une égale à 0|ul et l'autre perpendiculaire à cette dernière, la seconde oblique sera égale à ol', et la question sera encore ramenée à construire un carré qui soit à un carré donné dans le rapport de m à l'unité.
10 LIVRE I. — COURBES RAPPORTfiES A. DIVERS SYSTEMES, ETC.
Généralisation. — Il est facile de voir que les constructions précédentes s'appliquent au cas où l'on aurait à déterminer un segment par la condition que l'inverse de ce segment fût égal à la somme des inverses de segments donnés, chacun de ces inverses étant multiplié par une constante» ou bien au cas où Ton aurait à déterminer un segment par la condition que l'inverse du carré de ce segment fût égal à la somme des inverses de carrés donnés, chacun de ces inverses étant multiplié par une constante, de telle sorte que l'on aurait, suivant ces deux cas, les équations
ou Zdoa ' jLà^n
op
oa
dans lesquelles le signe 2 s'étendrait à tous les segments et à toutes les valeurs des constantes telles que a.
13. Condition pour que trois points soient en ligne droite. — Si les trois points a, ft, c (Jig. a) sont en ligne droite, on £i ac = ab -h bc; or si l'on appelle p la perpendiculaire abaissée du point S sur la ligne abcd et qu'on exprime chaque segment tel que ac en fonction du sinus de l'angle opposé des deux rayons menés du point S aux deux extrémités de ce segment et de la perpendiculaire p, on aura, eA portant ces diverses valeurs dans l'égalité précédente, la relation
, , sinAC sinAB sinBG
S6 Se Sa
Si l'on compte un angle à partir de la première ligneexprimée sous le signe sinus jusqu'à la seconde, l'équation précédente pourra s'écrire sous la forme
/\ xf\ /X
, ,, sinAB sinBG sinCA
Se Sa oo
Condition pour que quatre points a, 6, c, d soient en ligne droite. — On aura la condition
ad =: ab -h bc -h- cd,
GHÀPITHE I. — CONST&UGTIOIfS PHÉLIMIN AIRES. II
qui conduira à la relation
. « sinAB sinBC sinCD sinI)A
et ainsi de suite, lorsqu'il s'agira d'un plus grand nombre de points.
Ces relations seront d'une grande utilité pour la construction géométrique de nos formules.
la LIVRE I. -— COURBES RÀPPORTtBS 1 DIVERS STSTfeMBS, ETC.
