CHAPITRE il. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC

éléments est la somme des déviations positives ou négatives que subit la direction de Tun de ces éléments pour coïncider avec la direction de l'autre élément; on l'appelle déviation d'un élément par rapport k l'autre élément.

Si Ton prend deux points quelconques sur la circonférence d'un cercle dont le rayon est R et qu'on mène deux tangentes en ces points, le rapport de l'angle de ces tangentes à l'arc compris entre ces deux points est constant, quelle que soit

h longueur de l'arc, et égal à l'inverse du rayon; ^ mesure le

rapport de la déi^iation à l'arc compris entre ces deux points; on l'appelle courbure du cercle.

Soient maintenant A A', A' A'^ deux éléments successifs d'une courbe dont l'arc, compté à partir d'un point fixe, est s; soit de l'angle de ces deux éléments ; si par les trois points A, A', A'', infiniment voisins, on fait passer un cercle, ce cercle sera déterminé ; sa courbure mesure la courbure de la courbe. Son centre et son rayon s'appellent centre de courbure et rayon de courbure de la courbe au point A. Si l'on représente par R ce rayon, on aura la relation

^ ' K ds

19. De V équation élémentaire de la courbe. — Revenons à l'équation (3') du n** 15; si le polygone considéré dans ce numéro devient infinitésimal, cette équation deviendra

dans laquelle le premier membre est le rapport de l'élément de l'arc de la courbe à l'angle de contingence ou déviation élémentaire, et le second membre une fonction déterminée delà déviation de cet élément par rapport à un élément déterminé de cette courbe. Cette équation est Véquation élémentaire de la courbe. Elle a un avantage sur toute autre équation propre à représenter la courbe en ce qu'elle caractérise la courbe directement et sans auxiliaires, tandis que les autres

l8 LIVRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTfeMES, ETC.

équations reposent sur des quantités qui sont étrangères à la nature de la courbe, que Ton peut toujours concevoir sans Tappui de ces quantités.

La définition qui sera la traduction géométrique de l'équation élémentaire sera aussi appelée définition élémentaire de la courbe^ et aura cet avantage sur les autres définitions de la même courbe, qu'elle fera connaître la courbe directement et sans l'introduction d'aucun auxiliaire géométrique, point, ligne, angle, étranger à la courbe. Le centre du cercle est un point étranger au cercle, les foyers de l'ellipse sont des points étrangers à l'ellipse et ne sauraient appartenir à ces courbes.

L'équation élémentaire de la courbe fait connaître directement le rayon de la courbure de cette courbe, car, d'après ce qui a été établi dans le numéro précédent, on a

Elle donne la rectification de l'arc de courbe correspondant à deux valeurs de Cy e^ et e,

(10) s — Sq^=-- j cp{e)de.

Enfin elle donne l'aire balayée par le rayon de courbure pour toute la longueur de cet arc. La différentielle du de cette

aire est égale h-B?de; et par une intégration entre les limites

eo et e, on trouve la relation

(il) M— Mo=-/ 9(^) de.

Ainsi, soit la courbe dont l'équation élémentaire est

-— —: ma%

m et a étant deux constantes, on trouve les trois relations