CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC. I
l'arc s et l'aire u étant comptés à partir de la valeur nulle de e; R« étant le rayon de courbure correspondant à la valeur zéro de e.
20. Coordonnées rectangles d'une courbe donnée par son équation élémentaire. — 11 est aisé de voir que, dans le cas du polygone infinitésimal, les formules (4)> (4') ^u n" 14 deviennent
r/i da: dr
[4'] X— Xo= f (^{e)cosede, jr — jr^^z j (^{e)s\nede.
Ce sont les deux équations de la courbe en coordonnées rectangles. Si l'on élimine e entre ces deux équations, on aura une équation unique entre ces deux coordonnées. Applications. — i** Courbe dont l'équation élémentaire est
ds
-j- — ay a étant une constante. Les équations [4'] donnent
X — Xo=asinf*, y — n — « =^ — «cose;
si l'on élève au carré et qu'on ajoute, on obtient l'équation du cercle
[x — xoY-^ ir—roY— 2«(r — ro) ■"-"^- q-
ds 2** Courbe dont l'équation élémentaire est -t- — ma% m et a
étant constants. En intégrant, par parties, les deux équations [4']. on obtient
(^— Xo) -f- la{y—ro) = /wa'sin e, j— /o — 1(^{^ — ^o) — ma'cos e.
Si Ton égale à zéro les deux premiers membres de ces deux équations, on obtient les équations de deux droites dans le système rectangulaire formant entre elles un angle droit; or, si l'on appelle Y, X les perpendiculaires abaissées d'un point de la courbe sur ces deux droites, on aura
Y\È-\-la = ma' sine, Xyi-f-Za =^ ma' cose;
divisant Tun par l'autre on obtient
^ — tange,
Si l'on élève les mêmes équations au carré, qu'on les ajoute et qu'on représente par -r le facteur de X et de Y, on obtient
X'-f-Y^ — A» m^a'S et par l'élimination de e l'on trouve
équation de la spirale logarithmique.
21. Système de coordonnées tangentielles, — Dans l'hypothèse du polygone infinitésimal (^^.6), les coordonnées oblî-
Fig. G.
ques que nous avons considérées dans le n*» 17 restent finies et deviennent r et X; le rayon mobile r est la tangente à la courbe, comptée à partir du point de contact jusqu'à sa rencontre en B avec l'axe fixe OX. Cet axe peut être supposé coïncider avec une tangente à la courbe en un point déterminé O, et la coordonnée X est la portion de cette tangente comptée à partir du point jusqu'au point B; mais celte hypothèse n'est pas nécessaire. Ce système de coordonnées tangentielles à la courbe se prête avec facilité à l'étude de toute courbe
