CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC

elles s'obtiennent directement au moyen des formules [4']- Elles sont :

{x — xt)sïna=:: — /(cosasîn^e-hsinacos'ej-ha/cosasin «, (/— ^,)sinrt= /(sina sin"e — cosacos*e) H- /cosacos^.

Si a = -1

X — ;r, = — /cos'e, / — j^o = ^sin'^, desquelles on déduit

{x — x.y 4- ir — r^y = ^' •

ds Rectification, — Si Ton intègre la valeur de -i-> on aura

l'arc sous Tune des deux formes

3/ , lecoia 3 le

s =1 — : — sine cose, h ■= - r -^ cota,

asm a 222

la constante étant déterminée par la condition que s s'annule avec e.

Quadrature. — On trouve de la même manière Taire u balayée par le rayon vecteur depuis e = o jusqu'à ez=e :

sin2a . , cos2a . ,

2M =r: MIÏ* C H 7 COSe SIU^C

/3cos2a cosM\ -r- ( ^ ; j cosesme

-f- I cos'a — y cos2a| e.

Nous donnerons bientôt une construction générale trèssimple des rayons de courbure des épicycloïdes.

40. Des courbes résultantes. — Une courbe est la résultante de deux courbes données, lorsque, les rayons de courbure de ces courbes étant parallèles, le rayon de la première est la

somme des rayons de courbure des deux autres courbes. Celles-ci sont dites les composantes de la première.

Relations entre les arcs et les coordonnées d'une courbe et de ses composantes. — Soient s, r,X; *,, r,, Xi les arcs et les coordonnées tangentielles des deux courbes composantes; Si, Tj, Xa Tare et les coordonnées tangentielles de la courbe résultante. La condition donnée par la définition de la courbe résultante est

dsi ds ds

de de de''

or, si Ton a égard aux équations (1*2), on trouve la relation

rftrjsine) =^d{ri sine) -h d{rsïne).

Si Ton représente par jo la constante introduite par Tintégration, on trouve également la relation

sine Cette équation, quand on a égard aux équations (12), devient

en intégrant cette équation et en représentant par x^ la constante de rintégration, on obtient finalement Téquation

Xa — Xi — X — ^0 ^^ — T*» cote.

De ces équations, on déduit les coordonnées rectangulaires de la nouvelle courbe en fonction des coordonnées rectangulaires des courbes données :

Ja — 7i— T"— Jo, û^2 — ^i — a: = Xo.

Rectification des courbes, — Si Ton intègre l'équation relative aux rayons de courbure, et qu'on appelle 5o la constante introduite par l'intégration, on trouve la relation