OX

Soit a Fangle des deux droites OX, OX,; e, e^ les angles qu'elles forment avec la droite /; X, X» les distances des points d'intersection au point 0; le triangle dont les côtés sont X, Xi, /donne les rapports égaux :

smei sine; sma On déduit de ces relations les équations suivantes :

X= -: Sin(<? — «), —7— = -: COS(e — à).

sina ' de sma ^ '

Or, si Ton prend OX pour axe des coordonnées tangentielles de la courbe cherchée, on aura, d'après les formules (12), les relations

r=: — : — [sin(2e — à) 4-sinal, 2 sina ^ ^ ^

-7- = — : — I 3 cos(2e — a) -h cosal.

ae 2 sma ^ ^

Ces valeurs font connaître les coordonnées tangentielles de

la courbe et son rayon de courbure.

ds Discutons la valeur de -r- que fournit l'équation naturelle

de la courbe. Si celte valeur se réduisait au premier terme, on aurait l'équation élémentaire d'une hypocycloïde engendrée

par un cercle de rayon égal à -y —. — roulant sur la concavité

•^ 4 sina

d'un cercle de rayon — : — 9 cette hypocycloïde ayant son sommet sur la bissectrice de l'angle des deux axes OX, OX,; niais, comme la valeur de -j- se compose de ce premier terme

augmenté du terme constant - -: — ? elle représente l'équa-

2 sma *^ ^

lion élémentaire d'une courbe parallèle à Thypocyclôïde que

nous venons de définir et situé à une distance — - — de celte

2sina

courbe; on déduit de là la construction suivante :

Pour construire V enveloppe de la^vuibe l dont les extrémités glissent sur deux axes OX, 0X| formant entre eux V angle a, élei^ez par les extrémités de la droite l considérée dans une de ses positions des perpendiculaires aux axes; avec un rayon égal à la distance de leur point d'intersection au point 0, décrivez de ce point un cercle et sur la concavité de ce cercle une liypocyclolde, dont le sommet se trouve sur la bissectrice des axes à une distance du centre égale à la moitié du rayon; enfin construisez la courbe parallèle de V hypocycloïde à une distance de celle-ci égale à la projection de la distance du centre au sommet de V liypocyclotde sur l'un des axes.

ds Si Ton prend la dérivée de -y-? on aura

du 3/ . , .

de^ sina '

qui est l'équation élémentaire d'une autre hypocycloïde engendrée par un cercle d'un rayon égal à — -. — roulant sur la

concavité d'un cercle d'un rayon quatre fois plus grand, l'origine de cette hypocycloïde étant sur la bissectrice de l'angle des axesOX,OXi. Ainsi l'enveloppe de la droite / est la développante de cette dernière hypocycloïde.

Ces caractères si simples de l'enveloppe qui nous occupe sont la conséquence immédiate de notre analyse. 11 eût été beaucoup moins facile de les apercevoir si l'on avait fait usage du système cartésien. Les équations delà courbe dans ce système se présenteraient sous une forme compliquée. L'analyse précédente les fournit d'ailleurs sans aucune difficulté, comme on va le voir.

Coordonnées rectangulaires. — Elles se déduisent des coordonnées tangentielles que nous avons déjà trouvées, ou bien