CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC

donc l'arc de développée compris entre deux positions du

rayon de courbure est égal à la différence de ces rayons.

Si Ton suppose un fil flexible et inextensible, sans épaisseur,

ayant une de ses extrémités en un point quelconque de la

courbe donnée, et que Ton tende ce fil en Tenroulant sur la

développée, il suffirait de développer ce fil à partir de l'extré-

mlié située sur la courbe donnée pour que cette extrémité

décrivît cette courbe; tout point différent de celte extrémité

décrirait une courbe parallèle de la courbe donnée. La courbe

proposée et ses parallèles sont les développantes de la courbe

dite développée.

ds Équation élémentaire de la développée, — Soit — =-. (^[e)

réquation élémentaire de la courbe proposée; d'après les relalions que nous venons d'établir, on a Téquation

orfangle que le rayon de courbure R fait avec Taxe OX étant <?i, on a

e^—ze-^-j

et, par suite.

dsi ^ rfR ^ d^s

rfe, de de^

Coordonnées tangentielles, — Soient Xi, r, ces coordonnées également prises par rapport à Taxe OX, auquel la courbe proposée est rapportée, on aura

X, = X H 5 r, = R H- r tangc;

cose ^ '

or, si Ton a égard aux équations (12), on obtiendra les relations

^ rf(Xsine) rf(rtange)

cosede tangecfe

Si Ton remplace dans ces équations X et r par leurs valeurs données par les équations (6) et ( 7 ), on aura, réductions faites, les équations

Xi ::= 1 ( r- / -7-^ cos ^ rfe ) rf<?, r, =:= 1 -y-rCOsede.

J'\cos^ej de^ j cose J de"

On peut les obtenir directement en portant la valeur de -^-^

tirée de l'équation élémentaire de la développée dans les formules (6'^') et (7''), et en prenant e pour variable indépendante. Coordonnées rectangles. — Soient Xx, j, les coordonnées de la développée, x, j les coordonnées correspondantes de la courbe proposée, on a les équations

ds . ds

X — Xx = -7— sine, yr-—y\T^— -7-cose.

Si Ton remplace dans ces équations x Qi y par leurs valeurs , tirées des équations [4']> on obtient, après réductions, les deux équations

rd^s . , CdH ,

Xx—-Xo=^-- j --r-^ siuede, j, — jo= / --rj cosede.

En opérant comme précédemment, on peut obtenir ces deux équations directement en partant de Téquation élémentaire de la développée et en faisant usage des formules [4'].

43. applications des formules précédentes, — i® Développée de la strophotde. L'équation de cette courbe est en coordonnées rectangles

xflf <!/•<»

Si l'on fait usage des notations employées dans le n" 39, on aura l'équation naturelle de la courbe

I ?. — ?n f —tn

(h .f^- Jbar^' si n ^-'^g co s^^-'g

de ~ ^ *