CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC. 5ç

d'après cela, les équations de la développée de la strophoîde en coordonnées rectangles seront :

jr, — T, =:«'""" sin *""'<?

Tarn r— m i m

(■xm 1 T I m \

r, — 7, = ft'"~' cos "^~~^e

a"*-^'i^^'[(m — i) sin'e — i]sin'^-^^ + ('w — O*^^cos"^-^f^

1 9.Tn %—m I m

— hl m \ m

Dans le cas où m égale 2, ces formules deviennent

{x, — x«)a'— a'(« — ft)sin*é?

(6 cos*e -h a sin^e)^

mt 6=*(è — a) cos'e

(r. — ro)6' = — ^^—

[h cos'e-4- asin*e)

Si l'on élève à la puissance | les 'deux équations, et qu'on ajoute membre à membre, on obtient

qui est Téquation de la développée d'une conique en coordonnées rectangles.

2** Développée du cercle. — Uéquation du cercle est

ds a étant le rayon du cercle; donc Téquation naturelle de la

6o LIVRB I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTÈMES, ETC.

développée sera

dsx = o,

dci

c'esl-à-dire un cercle de rayon nul, et, par conséquent, celte développée se réduit au centre du cercle proposé.

3® Développée de la spirale logarithmique. — L'équation naturelle de la spirale logarithmique est (n*' 29),

ds ^

de

réquation naturelle de sa développée sera

ds ^""{'^-l)

-j=nmE ;

dex

la développée sera donc une spirale logarithmique. Si Ton rapporte ces deux équations à une même variable e, on verra qu'en des points correspondants le rayon de courbure de la spirale et le rayon de courbure de la développée sont égaux, ou bien dans un rapport constant.

4" Développée de la cyclotde. — L'équation naturelle de la cycloïde est

ds

— - = !inicose;

donc l'équation naturelle de la développée sera

dsx

— - nz: 2/ncoseî, ;

dey

donc la développée d'une cycloïde est une cycloïde. Si l'on rapporte ces deux équations à la même variable e, on aura les relations

R=r2mcos^, R, =— 2/nsiné?, R, -i-Rf=4/n2;

donc la distance d'un point de la cycloïde au centre de courbure correspondant de la développée est constante, quel que soit le point que Von considère sur la cycloïde.