DEUXIEME SYSTÈME DE COORDONNÉES TANGENTIELLES

§ I. — Étude générale.

46. Définitions, — Appelons rayon tangentiel d'une courbe mn {fig. 8) au point B la longueur r de la tangente menée en

Fig. 8.

ce point à cette courbe jusqu'à la rencontre d'une autre courbe PQ; abscisse curviligne la longueur s de Tare de courbe PQ comptée à partir d'une origine fixe 0, prise sur cette courbe jusqu'à la rencontre A du rayon tangentiel avec la courbe PQ; enfin angle coordonné l'angle que le rayon tangentiel fait avec la tangente au point A à la courbe PQ; nous représentons ces coordonnées par les lettres r, s, a. La courbe PQsera appelée courbe directrice. Il est évident que la connaissance de a et de s fait connaître la tangente à la courbe ^riy et que r donnera le point correspondant de cette courbe. Dans chaque cas particulier, on fixera dans quel sens l'angle à et l'arc s sont comptés.

Équations différentielles. — Le point Oi étant l'origine des abscisses curvilignes s comptées positivement sur la courbe directrice d^ Oi en Q, si au point A nous menons une tangente à la courbe PQ, nous regardons comme positive la portion de tangente comptée à parlir du point A dans le même sens que les arcs positifs. Si du point A nous menons un rayon tangentiel r à la courbe mn au point B, langle a que ce rayon fait avec la tangente à la ligne PQ au point A est compté positivement de droite à gauche à partir de la portion positive de la tangente en A. Soient e et e les angles que les tangentes aux deux courbes en deux points correspondants A, B font avec Taxe fixe OX, le sens de ces angles et de cet axe étant déterminé. Du point A, infiniment voisin du point A sur la courbe mn, menons deux tangentes, Tune à la courbe PQ et Taulre à la courbe mn. Soient c le point d'intersection des deux tangentes à la courbe PQ et d le point d'intersection des deux tangentes à la courbe mn; les angles du quadrilatère formé sur les deux couples de tangentes en A et Ai sont

a, i8o — de, i8o — a — da, de,

et les côtés

- ds, - ds, r-^~dr dtr, r H — rfo*.

Si Ton projette le périmètre sur la direction du rayon tangentiel r et ensuite sur une direction perpendiculaire, on aura les deux équations

( r 4- - rf(7 ) = ( r-f- dr rfc) H- ( - rf* cosa j -h-ds cos(a — de),

-dssïna =:lr-hdr rfo-j sinrfe dss\n{a — de),

et, en négligeant les infiniment petits du second ordre, on a les deux équations

rdi d(T — dr {i) sina = -^> cosa= — -^