CHAPITRE II. — DES COURBES RAPPORTÉES, ETC. 6S

une valeur particulière de e^ et, par suite, on a

5« = /„ =p oC-») (e„, —^- TT j — B„,

45. Coordonnées tangentielles. — Nous déduirons des coordonnées tangentielles de la première développée, démontrées dans le paragraphe précédent, les coordonnées tangentielles de la deuxième développée, et ainsi de suite, et nous obtiendrons

-. d{\s\ne) Y rf*(Xsine)

Ai — -jf — > Aj — -z — j

coseae cosede

d' jXsme) d*{\s\ne)

sine£^e sine de

Y ^ rf'"-'(Xsine ) rf'^ÇXsine) ,

cosede sine de

rf(rtange)

tang^

'^ = \^e \ ^'^«^^ Te H^ Te ^ ' ^^"^^^]

On trouvera aussi, en faisant usage des formules (6") et ( 7"), les expressions suivantes :

. / mt\ rd'+'s . (^,^\de

Cootxlonnées rectangles, — Ces coordonnées sont [4'] '. • Xa~x,= j -^^cosle-h —)de,

rd"*>s . ( nT.\ ,

Si Ton connaissait les coordonnées x, y de la courbe proposée en fonction de e, on trouverait, en projetant le polygone dont les côtés sont R, Ri, Rj, Rn i sur les axes des x et des jr» les deux formules suivantes, qui sont indépendantes de tout signe intégral :

Xn—x—l R„, cosé";,, y\ — j z= 2 R„i sin 6„,

dans lesquelles le signe 2 s'étend à toutes les valeurs de n, depuis I jusqu'à n. Ces formules se déduisent aussi des précédentes par une suite d'intégrations par parties.

On doit remarquer que les formules qui donnent soit les coordonnées tangentielles, soit les coordonnées rectangles d'une développée quelconque, se rapportent les unes aux cas où la courbe proposée n'est connue que par son équation élémentaire, les autres au cas où la courbe est donnée par ses coordonnées, soit rectangles, soit tangentielles. Dans ce second cas, il n'y a aucune intégration à effectuer.