CHAPITRE ni. — DEUXIÈME STSTÈBE DE COORDONNÉES» ETC
dr bure ^ delà courbe mn, le terme — est le rapport de la varia*
lion du rayon tangentiel au déplacement angulaire de ce rayon autour du point A; le dernier terme est la projection de la normale N sur le rayon de courbure .R; en efifet, d'après la première des équations (i), ce terme peut s'écrire sous la
forme -: — cosa = Ncosa; de là résulte que la normale N à sma ^
la directrice au point A partage le rayon de courbure ^ en
deux segments, dont l'un NB est la projection de la normale N
sur ce rayon, et dont l'autre N.^ a pour expression le rap-
dr port -j-» Si l'on appelle 9 cette projection, on a
il sufGra donc de déterminer ce rapport pour construire le
rayon de courbure ^ de la courbe m/i; et, réciproquement,
dr lorsque la courbe mn sera donnée, le rapport — sera connu.
Or on a
r= N sina,
N étant donnée par l'équation (2'); de plus, on a les relations (10) Rrfe=rNrfe=:Drfû;
d'après cela, l'équation (4') donnera successivement
T^T rf(Nsina)
^ irr N cosa -I — î— -j -^
dt
;o) ^ — fN-f- -jr- } cosa-H -T- sma;
d'une autre part, par la différentiation par rapport à £ de l'équation (2'), on trouve
.5. d^ (W iy\
70 LITRE I. — COURBES RAPPORTÉES À DIVERS SYSTfeBES, ETC.
Si l'on substitue cette valeur dans la relation (6) on obtient Tune des deux formes suivantes :
Si^ dans ces équations, on introduit l'auxiliaire Ri, telle que R = N + Ri, on aura la valeur de Si sous Tune des trois formes
i ^ = ( N + rjY I cosa -f- -T- sma,
,^ = I R — -^ I cosa -\- -7- sma.
Si, dans les mêmes équations, on introduit l'auxiliaire v, telle que t. = R + D, on obtiendra la nouvelle relation
(6") ^= Rcosa -^ ; sina.
On déduira avec la même facilité la formule suivante :
^ XT Txf ' j\ R'sina-4- :fr-cosa
/cwx «^—Ncosa Dsina-f-Dcosa D
(O ) ïjl — fT, -+-
On déduit des formules (6), (6') et (6") le théorème suivant:
Théorème. — Le rayon de courbure ^ s'obtient en projetant sur la normale l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l* angle droit sont parallèles aux rayons de courbure de la directrice et de sa déi^eloppée, et ont pour longueur les valeurs des [coefficients des sinus et cosinus de l'une quelconque des équations (6).
La construction de ces coefficients est donnée par la construction des conjuguées harmoniques.
