CHAPITRE m. — DEUXIÈME SYSTÈME DE GOORDOïtNÉES, ETC. 7I

Différentielle de Vaire. — Si, dans Téquation (3), on remplace di par sa valeur tirée de la première des équations (i), on trouve

(3') du^=^- rsxwadsi

rsma est la projection du rayon tangentiel sur la normale. SI l'on développe la directrice sur la tangente à l'origine Oi des s, les projections telles que rsina seront les ordonnées d'une courbe dont la différentielle de Taire est rsXnads; en appelant dv' cette différentielle, on aura

idu = dv', et, par suite,

donc l'aire balayée par le rayon tangentiel avant le développement de la courbe directrice est le double de Vaire balayée après le développement de cette directrice par les projections des rayons tangentiels sur la normale obtenues avant le développement.

Si, après avoir remplacé dans Téquation (3) de par de-^da^ on divise cette équation par le carré de Téquation (3'), on trouve l'équation

o,,, sin'tf 1 2

du ""K^rfer D'rfa'

le premier terme du second membre est l'inverse de la différentielle de Taire dv balayée par le rayon de courbure de la directrice et le dernier terme Tinverse de la différentielle de l'aire dw balayée par le rayon de courbure de la courbe dont

ds l'équation naturelle serait -7- = D. On peut donc écrire Téqua-

tion précédente sous cette nouvelle forme :

sin'a II , . I I I

\li —1 — r= -j- -f- -7— , OU bien j^rz-j- ^^ rrrr^ '^ t^^t ' du dv dw N'as IV de D^da

W. De la normale à la courbe. — La longueur 2fL de la

normale à la courbe mn au point B est comptée à partir de ce point jusqu'à Tintersection de la normale avec la "normale à la courbe directrice au point correspondant A, et il est visible que l'on a la relation

(8) X — rlanga.

Si avec une ouverture de compas égale à X on décrit du point B comme centre un cercle, les deux segments déterminés par ce cercle sur la normale à partir du centre de courbure ont pour expression Jl — X et Jl -i-<D^; on a donc les deux équations

/ X ^ or- 2rcos2rt diir) ^ ^ ir d(ir)

sin2a d['2e) t,in2a a(2e)

Soit R, le rayon de courbure de la courbe dont les deux coordonnées tangentielles (rayon et son inclinaison sur la tangente à la directrice) seraient 2ret 2a, et dont la courbe directrice dsi serait déterminée par la condition ,, ' , = —, :

^ d{ii) sin2a

ce rayon de courbure serait (4) en longueur égal au segment A — X que nous venons de définir, correspondant aux coordonnées tangentielles r, a et à la directrice -r = - — • ° de sma

50. Interprétation géométrique des équations. — Cette interprétation ressortira de la solution des deux questions suivantes :

Première question. — Une courbe roule sur une autre courbe; par leur point de contact on mène une droite parallèle à une droite donnée dans le plan de la courbe mobile, enveloppe de cette courbe.

dsi Supposons {Jig. 9) que -t-^- = D soit l'équation élémentaire

de la courbe roulante rapportée à un axe O'X' situé dans son plan et tangent à la courbe à l'origine des arcs; supposons, de plus, que cette courbe entraînant ce plan roule sans glisse-