CHAPITRE III. — DEUXIÈME SYSTfeME DE GOO&DONMÉESy ETC
f(e) est égal à une certaine fonction de a qui sera repré* semée par/' (a).
Le rayon tangentiel se déduit de la première équation (i), laquelle devient
La rectification de la courbe est donnée par la deuxième équation (i), laquelle donne par Tintégration
(18) (7= r-hf^'(a) cosada.
Si Ton exprime le second membre en fonction de e, au moyen des relations établies ci- dessus, la dérivée de cr par rapport à s fera connaître Téquation élémentaire de la courbe qui sera une nouvelle expression du rayon de courbure.
La quadrature de la courbe sera fournie par l'intégration de l'équation (3'), et Ton aura
;.9) u^Lfp^MMl ,,,,,,,
§ II. — Des développées obliques des courbes.
«S3. Problème II. — Si des différents points d'une courbe
ds
j-z=if[e), on mène des rayons formant des angles constants,
égaux à a, avec les tangerites à la courbe en ces points ^ le lieu des intersections de ces rayons est la développée oblique de la courbe; déterminer les propriétés de cette courbe.
Les données de la question dans le système tangentiel sont exprimées par les deux équations
Rayon oblique de courbure. — Dans le cas qui nous occupe, le rayon tangentiel est appelé rayon oblique de courbure de la
78 LITRE I. — COURUES RAPPORTÉES k DIYBRS SYSTEMES, ETC.
directrice, parce qu'il se confond avec le rayon de courbure de cette ligne lorsque Tangle est droit; son extrémité est appelée centre de courbure oblique; Tangle de deux rayons obliques infiniment voisins est Tangle de contingence de la développée oblique, ou simplement V angle de contingence oblique de la directrice. Cela posé, le rayon tangentiel se réduit de la première équation (i) du n" kQy laquelle devient
{2) r=:Rsina. ^
Cette formule, qui est due à Réaumur, montre que le rayon oblique de courbure de la courbe directrice est la projection du rayon de courbure de la courbe.
Il résulte de là qu'en un point les rayons de courbure oblique sous différentes inclinaisons ont leurs extrémités situées sur une circonférence de cercle dont le rayon de courbure est le diamètre.
Rayon de courbure de la développée oblique. — Ce rayon se déduit de la deuxième formule (i) du n** 46; si Ton remarque que € ne diffère de e que par une constante, l'équation (2) du présent numéro, en représentant par R' le rayon de courbure de la développée de la directrice, donne la relation suivante :
rfr . rfR ,
•y- •=. sma -r- =^ smaR'.
de de
On a donc les deux équations suivantes :
d(T d^s , ds »v, . »*
(3) --j- = -j-^ sina-^'-p cosa, »^ = R'sma + Rcosa,
desquelles on déduit le théorème suivant :
Théorème. — Le rayon de courbure de la développée oblique d'une courbe est la somme des projections du rayon de courbure de cette courbe, et du rayon de courbure de sa dévelop^ pée sur la direction de la normale à la développée oblique.
De là résulte que, pour trouver le centre de courbure de la développée oblique d'une courbe, il suffit de projeter sur
