CHAPITRE III. — DEUXIÈME SYSTÈME DE COORDONNÉES^ ETC
équations qui donnent ^ et ly lesquelles sont
(7) R. <7=i:N(R4-R,}sina, R^rir N(R-h R,)cosa, on obtiendra Téquation résultante
(8) Rî(T'-hR'^»=rN^(R+R,V.
De là on déduit le théorème suivant :
Théorème. — Si Von déueloppe Vépicyclotde sur la tangente à son sommet y le lieu des centres de courbure toprès le développement est une conique.
On trouve ce théorème dans Riccati.
Écrivons la valeur de n
(9) n = Ncosa,
et éliminons a entre cette équation et la première des équations (7), on obtient l'équation
RJ (7^-+- (R -f R.)/i'== N^(R 4- R,)^
On déduit le théorème suivant :
Théorème. — Si on développe Vépicyclotde sur la tangente à son sommet, le lieu des pieds des normales N après le développement est une conique.
60. Des développées successives de Vépicycloïde. — Nous conservons pour représenter les lignes qui caractérisent une développée quelconque les lettres qui désignent les grandeurs correspondantes dans Tépicycloïde; mais, pour les distinguer, nous les affectons de Taccent qui marque le rang de la développée. Or on a
,. d(T ^ R^— Rî R.
(0 ^^^__icoSj^e;
donc, en opérant comme au n° 56, et en remarquant que
lOO LITRE I. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS STSTÈHES, ETC.
g' — — h 6, on aura
, ^ d(7' ^, R^~Bî R. R, ,
On conclut de là que la développée d'une épicycloïde est une épicycloïde décrite par un cercle dont le diamètre est
:jr^ ( R — R, ), qui roule sur la convexité du cercle concentrique
au cercle Ri, et ayant pour rayon -^ • Celte épicycloïde est
tangente en son sommet au cercle Ri, et ce sommet coïncide avec le point de rebroussement de Tépicycloïde proposée.
D'après cela, on voit que la n'*"* développée est donnée par Féquation élémentaire
dtr^"^' n., ^ R'-Rî/RA" R. , ,
(^^ ^^^^^---IT^IrJ^^^r^^"^-
C'est une épicycloïde donnée par un cercle dont le diamètre ^J (R — R,), roulant sur un cercle concentrique au
cercle Ri, et ayant pour rayon -—p -, elle est tangente en son
sommet au cercle qui a pour rayon ^^~['
Relations entre les rayons de courbure des développées successwes. — Si Ton exprime e, e', e" en fonction de a, on aura les équations
^' - Rf
Si = 5 ~ COS«,
MX
(4) ; -ft':::. 51:Z1I ». siria,
-„ R'-RÎ Rî
Si l'on élimine a entre la première et chacune des deux
CBAPITHE |JI. — DEUXlftMB STSTËME DB COOEDOMNÊSS, ETC. lOI
autres, on obtient
R; Jl^-h R»a'^=(R»- Rî)« |i ;
on obtient aussi
R^^''-hRî^ = o.
La première est l'équation d'une conique par rapport aux variables Si, ^' ; la seconde l'équation d'une droite par rapport aux variables Si, Si".
§ III. — Des DÉVELOPPfiEs obliques de l'épigtgloïde.
Coordonnées tangent ielies. — Soit p l'inclinaison du rayon de courbure inclinée p sur la tangente à l'épicycloïde, les coordonnées tangenlielles seront, d'après le n^ 53,
tL\ R -4- R, R, R* — RJ Ri . /Q
' ' ^~ — R — ^^^r"^' P== — g— î-cos — esnip.
Rayon de courbure t.. — Si l'on porte les valeurs de ^et de ^' que nous venons de trouver dans la formule (3) du n"* 53, on obtient l'équation suivante :
-Rî
(cospcos
or, si
l'on
pose
R,tangp =
= Rtangt{;,
on obtient la nouvelle expression de v
{&) t=^^^-^{Rjsin»p + R'cos'P)^cos(4;-f-||eV
Soit 7î l'angle que le rayon de courbure inclinée p fait avec l'axe fixe, on a yj == (3 4- e; conséquemment l'angle placé sous le signe cosinus devient
de là résulte ce théorème :
Théorème. — La développée oblique sous l'angle (3 d'une épicyclotde est une épicyclotde.
Si Ton veut rapporter cette épicycloYde à la tangente à son sommet et à deux cercles concentriques, M étant le rayon du cercle intérieur, L le rayon du cercle extérieur, on posera {•/il est Tangle du rayon tangentiel avec la tangente au sommet)
(6") t>= f L— j-j cosy-yj,;
ridentification de cette équation avec Téquation (6) donnera
if-h~-e=^ -r>î., Lz=v^R;sin»j3-f-R^cos^j3,
M = ^5^ V^RJsin'P + R'cos'p.
Les rayons des deux cercles M et L sont donc déterminés, et conséquemment le diamètre du cercle roulant sera
v'Rîsin'(3-i-R»cos»(3.
