CHAPITRE IV. — NOUVELLES COORDONNÉES, ETC. lo
r et 0- étant des fonctions de e; la différentielle ds se trouve exprimée en fonction de cette variable, et une intégration donnera la rectification de la courbe polaire.
Tangente y sous-tangente. — La tangente T est le segment de la touchante à la courbe polaire, compris entre le point de contact et la perpendiculaire au rayon tangentiel menée par le pôle; la sous-tangente S^ est la projection de ce segment sur la perpendiculaire; on a pour l'expression de ces lignes
i3) T = ~ -;7- . S/-^ rtanga ~
cosa ûf(r-t-o-) d[r-\-(j)
Normale y sous-normale, — La longueur N de la normale à la courbe polaire est le segment déterminé sur la normale à la courbe polaire par la perpendiculaire au rayon tangentiel menée par le pôle. La sous-normale S« est la projection de ce segment sur cette perpendiculaire. Les expressions de ces lignes sont
fr\ 1VT '* ds ^ d(r-^(T)
(4) N^-: — — — , Sn— rcota=:-^5 '
sina ae dz
63. Rayon de courbure, — Dans le cas présent, la formule ( i ) du n'' &£ devient
(5) de=-^de^da;
divisant par ds, ot remplaçant les deux premiers termes par leurs valeurs, on a la relation
,r. I sina da
R r ds
Remarquons que, d'après l'équation (4) du n*" 48, on a
dr rcoia =-Sl-\- -j-:
de
or, si l'on différentie et qu'on élimine ds du second membre au moyen de la première des équations (i) du n® 62, on a la
Io6 LIVRE 1. — COURBES RAPPORTÉES A DIVERS SYSTEMES, ETC.
relation
, , da sîn*rt d Vi ( ^ dr\'^
On aura donc cette première expression de la courbure de la courbe polaire
si Ton élimine a entre cette équation et celle précédemment posée, on aura l'équation
drW
dans laquelle le second membre s'exprime immédiatement en fonction de Tangle polaire e.
Il est inutile de remarquer que, si la courbe des pôles se réduit à un point, alors on obtient le rayon de courbure d'une courbe en fonction des coordonnées polaires. ^
Différentielle de Vaire. — L'aire balayée par le rayon tangentiel a pour différentielle une des expressions calculées des n*^» 46 et 48.
ISou^^elles formes de la courbure. — Si de i'équalion
I sîn/7 da
R~""T" ^ds
on élimine ds au moyen de la deuxième des équations (i) du n® 62, on trouvera
r^,„ I d(rs\na] s\ï\ad(i
R rd[r-^(i) d{r-h(T) Or, en ayant égard à la troisième des équations (i), on trou-
