CHAPITRE IV. — DES COURBES RÉSULTANT, ETC

D'après la formule (5) du n° 115, on a la relation

I I \ . ,7,.T siaj, N,^,

inTi ^ sini'rs, ti = — —L- — .

?'N. 5rs./ N, 0-',

et, si l'on remarque que /N, =5N, — 55', l'équation précédente deviendra

ss' 0-', N, __ sino-\Ni /| ^ ^ ^ 5N, — 55' 5JN, ~' sini'N,/, '

De même la courbe lieu des points N2 donnera la relation analogue

. ,, ss' o-'Nî si no-' No ^2

( 2 ) — —— ~SZ - f

sN^i—ss' 5JN2 sin5'i\2^2

et, en divisant l'une par l'autre, on aura l'équation

s^2—ss' 5N2 o-'sN, sino-', N, ^, .sin^'Nî^z.

^ ^ 5N, — ^' Jn", ~ ?^ sino-'2N2^2.sin5'N,^, '

or le second membre de cette équation est donné par l'équation (i) au moyen des éléments de la question, c'est-à-dire au moyen des éléments de toutes les courbes connues moins la

courbe s. En représentant par ^ la valeur que l'on en déduit

pour ce second membre, l'équation (3) donnera la valeur de ss'

M2.5N.-Mt.5N,

ss' étant connu, le centre de courbure s' de la courbe s est déterminé : ce qu'il fallait trouver.

Mais l'analyse précédente donne aussi un moyen de déterminer les tangentes t^ et ^2 des courbes décrites par les points N, et Nî.En effet les équations (2) et (2') du présent numéro, dans lesquelles on porterait la valeur de ss' que nous venons de trouver feraient connaître les rapports des sinus qui déterminent les tangentes de ces deux courbes. Ainsi, lorsque la courbe s est inconnue, les courbes décrites par les points N,

3lO LIVRE II. — COURBES RAPPORTÉES A DES SYSTÈMES, ETC.

et Nî sont aussi inconnues, et la détermination des tangentes à ces deux courbes dépend de la détermination de la tangente à la courbe s et de s-on centre de courbure.

Deuxième cas. — Toutes les courbes sont connues, à l'exception de la courbe o-j enveloppée par le côté AB.

Point de contact. — L'équation (T) fait connaître le rapport de 1^2 à X'\l\ c'esl-à-dire de sa^ à 5,0-2, puisque tous les autres segments et tous les angles sont connus; la question est donc ramenée à partager une ligne 55, et deux segments proportionnels à deux lignes de grandeur et de signe donnés.

Rayon de courbure. — Dans le cas actuel, a-i étant la courbe inconnue, les deux courbes décrites, l'une par N2 et l'autre par N'2, sont aussi inconnues; la détermination du point de contact 0-2 fait connaître les points N2 et N"^/^; cela posé, on a, relativement aux courbes s et 5,, l'équation ( 2' ) et la suivante :

. .. s^, ^;N(/)sino-;N(;)/^/)

Si l'on porte les rapports des sinus tirés des équations (2) et (2") dans l'équation (i), cette équation fera connaître le

rapport des segments N^/^d'j, Nso-'j; si l'on représente par -~ ce rapport, l'équation

fera connaître le point a-\ par la division de la ligne NïN^,'^ dans un rapport donné; le centre de courbure de la ligne 0-2 est donc connu. Les deux segments W^^a'^y NjO-'j étant connus, les équations (2') et {1" ) donneront les rapports des sinus, et par conséquent les directions des tangentes aux points N^;), N2 aux courbes dt'^^\ dtj. c. q. f. t.

§ IL — Applications.

147. Problème V. — Étant données les mêmes conditions que dans le problème IV, les côtés du triangle ABC satisfont à