CONSTRUCTIONS PRÉLIMINAIRES

Si ron avait pris le point c pour origine commune des segments, on aurait obtenu

On déduit le théorème suivant :

L* inverse de la distance d'un point à son conjugué est la moyenne arithmétique des inverses des distances du même point aux deux autres.

Dans cette relation, il faut regarder comme positives ou négatives les distances comptées à partir de l'origine dans un sens ou dans le sens inverse.

4. Introduction du point central. — Le milieu o de la distance ab est appelé point central. Si l'on rapporte les quatre points «, 6, c, d au point central o, on aura

acz=:ao -{- oc, ad^=ao ^ od; bc z= bo — oc, bd = do — ob;

d'après ces relations, la proportion harmonique donnera

(3) bo =^ ao =oc.od,

d'où l'on déduit le théorème suivant :

Le demi'Segment ab limité par deux points conjugués est moyen proportionnel entre les distances du milieu de ce segment aux deux autres points.

5. Faisceaux harmoniques. — Soient quatre droites SA, SB, se, SD (fig. 2) issues d'un point S, lesquelles seront suffi-

Fig. 2.

samment désignées par les lettres A, B, C, D se rapportant à

des points quelconques de leur direction ; si ces droites sont telles que les sinus des angles des deux premières avec la troisième et la quatrième sont en proportion, ces quatre droites forment un faisceau harmonique ; les deux droites C, D sont conjuguées harmoniques par rapport aux droites A et B ; on dit aussi que l'angle des deux droites A et B est divisé harmoniquement par les deux autres droites C et D.

6. Propriétés des faisceaux harmoniques, — Soit le faisceau harmonique des quatre droites A, B, C, D, on a la proportion

sin(C,A) sin(D,A)

sin(C,B) sin(D,B)

Si nous coupons le faisceau par une transversale quelconque et que nous appelions «, h, c, d les points d'intersection de cette transversale et des droites du faisceau, il est évident que, dans le premier membre de l'égalité précédente, le rapport des sinus peut être remplacé par le rapport des distances des points Z» et « à la ligne C, divisé par le rapport des longueurs Sa, S6, et dans le second membre, par le rapport des distances des mêmes points à la ligne D divisé par le rapport des longueurs S«, S6 ; si l'on simplifie et qu'on remplace les rapports des distances par les rapports égaux des segments correspondants, on tombe sur la proportion (i) harmonique des quatre points «, hy c, d. On a donc le théorème suivant :

Toute droite qui coupe un faisceau harmonique est divisée harmoniquement par les points d'intersection,

7. Cas d'une transversale parallèle à l'une des droites du faisceau, — Il résulte de ce que nous venons de dire que si la transversale est parallèle à l'une des droites du faisceau, elle sera coupée en deux parties égales par les trois autres.

Cette conséquence peut s'établir directement de la manière suivante : soit mn (Jîg. 3) menée par c parallèlement à Se?; on a, à cause des parallèles,

ac ad ch bd

en ^d cm S</'

or, dans ces deux proportions, les premiers termes de chaque