CHAPITRE V. — CES SUBFACES APPLICABLES

on trouve, pour l'expression du déplacement infiniment petit d'un point effectué sur la surface,

(5) ds^=[' + ^^,nt)]dP -.{a' + t^)df,:i.

Or, si l'on clierche l'expression du déplacement ds, infiniment petit d'un point effectué sur la surface de révolution, rapportée à ses lignes méridiennes et à leurs orthogonales, n" 89, z ^f{l,] étant l'équation de la méridienne, on trouve

(6) ds\ = [i -hf"{t, )] dt] + t] dQ\ Identifions ces deux expressions, en posant

dô = dij.„ l] — r--hd', [i+/"(i,)J,/(; = [, + -^^A"(0]./''-

Si l'on élimine / de la dernière, au moyen de la seconde, on obtient

Cette équation différentielle, dans laquelle les variables sont séparées, détermine la fonction /(ï,); car, si l'on pose cette fonction égale à z, on a

qui est l'équation de la courbe méridienne de la surface de révolution.

203, applications, ~ L'tiéliçoïdaie donnée a pour ligne de profil la ligne donnée par l'équation

(9) 4.(0 = «arc(sin = ^!^Wm[v/F^r6T^]^^f,os^) dans laquelle a, b, a., m seul des constantes.

io8 I.IYRE m. ~ DES COORDONNÉES GÊODÈSIQUES.

Si l'on prend la dérivée par rapport à t, on trouve

,,, , mi'— «fisina

ftjt' — h'smx

Or, si l'on porte celte valeur dans l'équalion (8), on obtient

J \lt]—[a-' +

a)~[am + bs,\ï\aY -(a' 4- 6'sin'a) Si, pour abréger, l'on pose

«' + È'sin'îf = l',

et qu'on introduise la variable <^ par la relation (, = /sinqj, t obtient

qui s'intègre par les arcs d'ellipse.

Ainsi la courbe méridienne représentée par la première transcendante elliptique donne la surface de révolution applicable sur l'hélicoïdale qui nous occupe.

204. Caractère de eette surface hélicoïdale. ~ La surface hélicoïdale qui a pour courbe de profil la valeur de ij* donnée par l'équalion (9) esl l'héliçoïde réglé quelconque.

Pour démontrer cette proposition, il n'y a qu'à chercher les équations de l'héliçoïde réglé quelconque, et à en déduire la courbe de profil donnée dans celle surface par l'intersection d'un plan passant par l'axe.

Calculons l'équation de l'hélicoïdale engendrée par une courbe dont le plan parallèle à une droite fixe esl doué d'un mouvement hélicoïdal autour de celte droite, ce mouvement étant donné par la constante a. Soit celle droite prise pour axe des s, soit b la distance d'un point A du plan de la courbe à l'axe des s. Si nous rapportons la courbe génératrice aux deux droites menées par le point A, l'une As, parallèlement à l'axe des z, et l'autre Ap, perpendiculairement à cet axe et dans le plan de la courbe; 3,=;vji|(p) étant l'équation de la courbe par rapport à ces axes, si l'on représente par a l'angle

i APPLICABLES. 309

des deux droites 6 et Ap, par x, y, z les coordonnées cartésiennes rectangles d'un point quelconque de la courbe dans une de ses positions, par 6 l'angle de b avec le plan des zx, les équations de la surface hélicoïdale seront

XT= tcosâ + pcosfa-+- â),

f^b&inQ + psin(a -i- 6),

Pour avoir l'équation de la surface entre les variables x', y, z, il suffit d'éliminer et p entre ces trois équations. Or si l'on ordonne les seconds membres des deux premières équations par rapport aux cosinus et aux sinus de l'angle S + a, qu'on élève au carré, el qu'on ajoute, on obtient une première équation qui donne le carré de la projection / du rayon vecteur sur le pian des xy; si ensuite on divise l'une par l'autre, on obtient la tangente de l'angle 9 que cette projection fait avec l'axe des x; ces deux équations sont

i'c=p'-i- afcpcosa + 6S

/„ Asina

tangœ =: lana 9 + a— arciang := -,

"^ ° \ '' p-+- cosa

D'après cela, l'équation de la surface sera

— h a ^ arc I tang ^ - 1 —

-I — ']>,{\Jx''~hr''— b^sin'x—- ècosa),

qui rentre dans la formule a$ + i|i. (() de l'équation de la surface donnée au n° 85, pourvu que l'on pose

•]i{t)^ ijji (v^;' — è'sin'a— &cos«) — a arc (sin ^-^- — )■

Il est évident que si la fonction i|j,(i) est m/, *« étant une constante, on retombe sur l'expression (9); on a donc cette proposition générale :

Théorème. — J/kéliçoîde réglé quelconque est applicable sur la surface de révolution, dont la courbe méridienne est donnée par la transcendante elliptique de première espèce.

3lo LIVUB III. — IIES COOIIDONNÉES GÈODÉSIQUES.

205. Cas particuliers. — i" fféliçoïde gauche à plan dii-ecleur.

Dans ce cas, il faut poser m=o et a^o dans l'équation (9). D'après cela l'équalion (lo) devient dt,

dont l'intégrale est

A élant la constante introduite par l'intégration, et e la base des logarithmes népériens. Si l'on fait celte constante égale à a, on obtient l'équation de la chaînette. On a donc cette proposition connue :

L'héliçoïde gauche à plan directeur est applicable sur la surface de révolution dont la méridienne est la chaînette.

a" Héliçoïde engendré par une droite située dans un plan perpendiculaire à l'axe.

Dans ce cas, il faut poser nulle la tangente m de l'inclinaison de la droite sur le plan des xy, ce qui donne, dans la formule (9),

, . , / . ùsiniz\

(9") 4'(0^«ai'c(sLn = — ^1-

IJ'après cela, la formule f 10) devient

J v'i — «'— o'sin'a Or, si l'on pose a'-- 6'sin'arr^ B', on trouve, A étant la con-

qui appartient au genre chaînette, et que l'on construit en réduisant les ordonnées s de la chaînette dans une raison constante. On déduit dé là cette proposition :

L'héliçoïde réglé engendré par une droite située dans un plan perpendiculaire à l'axe est applicable sur une surfaire de révolution dont la courbe méridienne est une ligne du genre dmfnefle.

yGoosle

niAPiTRE V. — DES suHrA<:KS Ari'LioAm.Es. :iii

206. Surface hélicoïdale réglée dont la droite génératrice est inclinée sur l'axe d'après des conditions données.

i°Si m satisfait à la relation a -h mbsinoL = o, l'équation (9) conserve la même forme, mais l'équation (10) se réduit a Ja forme simple

" n dt,

qui est l'équalion d'un cône de révolution.

Ainsi la surface réglée satisfaisant à cette condition est applicable sur un cône de révolution.

2° Si m satisfait à la condition am^±l~ bsincc, l'équation (9) conserve encore la même forme, et l'équation (10) devient

r i, dt,

dont l'intégrale est, c étant la constante de l'intégration,

qui représente un h;yperboloïde de révolution. Appelons y l'inclinaison de la tangente de l'hélice directrice

sur le plan des xj^, h le pas de cette hélice, l'on a a ^ ± — ■

suivant que le mouvement a lieu dans un sens ou dans le sens opposé, ei a^= b tangy. Si l'on appelle p l'angle que la droite génératrice fait avec le plan des ar/, l'on a m:= tang[3.D'après cela, la condition « + m6sîna = o devient

__ tangy ^"""--^lang^'

laquelle se trouve satisfaite dans le cas de l'héliçoïde réglé développable, puisque alors

sinœ = ±i et langy ^lang^.

La condition relative au second cas devient

langui?

yGoosle

3l2 LIVBK t[I. — DES COORDONNÉES GÉ0DÉSIQUE9.

207. Problème II. — Recherche d'une surface hélicoïdale applicable surune surface de réfolution d'espèce donnée.

Bans la queslion actuelle, la fonction /(i,) est donnée, et il s'agit de déterminer la fonction i|>(0 qui représente l'ordonnée de la courbe de profil de la surface Léiiçoïdale, Or, si l'on a recours aux équations de conditions obtenues au n" 202, on trouve

dans laquelle f,[ est la dérivée âef{t,) par rapport à t„ et c'est dans cette dérivée que l'on a remplacé l, par sa valeur en l'onction de (, Si l'on intègre par rapport à /, on obtient

conséquemment, les équations de la surface hélicoïdale seront, ri" 85,

;c=(cos9, 7=/sin9, z = a$ ■+- j dt yfl'Wt^ + a') — ^-

208. Applications. — Recherche des surfaces hélicoïdales applicables sur une surface de révolution dont la courbe méridienne est du genre chaînette.

Nous venons de démontrer que deux espèces d'héliçoïdes réglés sont applicables, l'un sur ia surface de révolution dont la courbe méridienne est du genre chaînette, et l'autre sur une surface de révolution dont la courbe méridienne est une chaînette; le problème en question mettra en évidence d'autres héliçoïdes qui jouissent de la même propriété. U faut poser

n et c étant des constantes; l'équation (ii) donne

qui esl l'équation de l'ordonnée de la courbe de profil île la surface hélicoïdale.

Avant d'intégrer celle équation généralement, distinguons les irois cas suivants :

i" n = c' = a', on a i^"'!') nul, et par conséquent il* ('} égale aune constante; on obtient donc l'hélicoïde gauche à plan directeur.

2° Si M = « et c> a, l'équation (n') devient

dont Tinlégrale est, en représentant par A une constante arbitraire.

Ainsi la courbe de prolil est la sinussoïde [9"] du n" 205. 3" Si «>■«,(! = c, l'équation {11) devient

dont l'inlégrale esl, A étant une constante arbitraire,

.i;(i) = A + \/n^-^Mog(.

Passons maintenant à l'intégration de l'équation générale (11'). Posons, pour a

, , , a Cc/t h- - K' It'

P étant une nouvelle variable, on obtient

-i-lang'cp){n- Knang"9)