DES SURFACES APPLICABLES

199. Problème des surfaces applicables. ~ Ce problème coiisisic à trouver toutes les surfaces qui peuvent s'appliquer exactement sur une surface donnée sans déchirure ni duplicature.

Soit la surface donnée représentée par trois équations entre les coordonnées cartésiennes du point et deux variables p el pi, de telle sorte que x, y, s soient des fonctions de ces deux variables. On veut que, pour cette surface et celles qui lui sont applicables, les points se correspondent, deux à deux, de telle sorte que la distance de deux points sur une surface soit la même que la distance de deux points similaires sur l'autre surface dans toutes les directions possibles autour de ces points; cette condition est bien celle pour que deux surfaces soient applicables l'une sur l'autre sans déchirure ni duplicatitre. Cela posé, si l'on conserve aux paramètres H, H,, G le sens que nous leur avons donné n" 31, nous avon^

( 1 ) </î= ~ H= rfp= -+. H; rfp; + aG'rfprfp,,,

pour représenter la distance de deux points infiniment voisins pris sur une surface. H, H,, G sont donc des fonctions de p et de pi qui ne doivent pas changer quand on passe d'une surface à l'autre. Or notre théorie donne les trois équations fondamentales du problème dans le cas le plus général où les coordonnées curvilignes p el pi sont quelconques. Ces trois équations sont : I? l'équation donnée par le n" 37

1 I sin'o

d^ns laqi!cl!c Ir st^coiul inemliiT est une fonriion de p cl p,.

3o4 LIVHR III. — DES COO»nONNÈES GÉOCÉSIQUKS.

qui dépend des coefficienisH, H,, G, comme le prouve l'équalion (9') du n" 4-1 ; les deux autres équalîons sont les équations {il) du n" 42; les irois inconnues sont les composantes

normales -i — des courbures des lignes coordonnées, et la composante normale j de la courbure inclinée de l'une de ces

lignes par rapport à l'autre. De ces trois équations, la première est finie par rapport aux trois inconnues; les deux autres équations sont aux différences partielles, et linéaires par rapport aux mêmes inconnues et à leurs dérivées, les coefficients étant des fonctions de p et de p,, et ne dépendant aussi que des paramètres différentiels H, H,, G, de sorte que la connaissance de ces trois paramètres différentiels entraînera celle du système des trois équations dont nous venons de parler qui correspondront à la surface donnée : telle est la première partie du problème, c'est-à-dire la mise en équation.

L'intégration de ces trois équations simultanées fera connaître les trois inconnues —, ~> -. en fonction des paramètres

peip,. Cela fait, si l'on a égard à ces valeurs, les équations renfermées dans les types (i), (•2), (3) du Chapitre UI du Livre l, que l'on classera par groupes de trois équations, détermineront les neuf cosinus X, X,,X,;¥, ¥,,¥,; Z, Z,, Zi en fonction de p et de p, ; enfin l'on déduira de ces valeurs les expressions des coordonnées x,y, z en fonction des paramètres p et p,, ce qui fera connaître la surface, ou plutôt les surfaces ciierchées. Telle est la deuxième partie du problème, comprenant l'intégration des équations aux différences partielles. C'est dans cette seconde partie que glt la difficulté de la question, à cause des intégrations qu'on ne sait pas effectuer.

200. Liaison-dit problème des surfaces applicables el du problème des coordonnées cumilignes. — Nos formules fondamentales du problème des surfaces applicables sont les plus générales que l'on puisse donner, puisqu'elles se rapportent à un système quelconque de coordonnées curvilignes tracées sur la surface donnée, et l'on voit que ces trois équations nous ont été fournies par la solution générale du problème des coor-

CIIAPITKE V, — lins SUltFACnS APPLICABLES. 3o5

données curvilignes. Cette remarque n'avait pas écliappé à Edmond Bour, qui s'exprime ainsi ( De la Déformation des surfaces, p. 7) : a Réciproquement, on peut dire que mes équations fondamentales sont renfermées plus ou moins implicitement dans celles des coordonnées curvilignes, de sorte qu'il ne serait pas impossible de tirer syntbétiquement de ces dernières tous les éléments de la déformation des surfaces. » On voit, par le numéro précédent, que nous avons tiré de la théorie des coordonnées curvilignes tous les éléments de la théorie de la déformation.

Si l'on voulait retrouver les équations fondamentales données par Edmond Bour, il suffirait de particulariser le système de coordonnées curvilignes et de prendre, comme il l'a fait lui-même, le système des coordonnées géodésiques et leurs orthogonales. Alors on trouverait à la place de l'équation (i) l'équation (9") du n" 41, et, à la place des équations (11) du n° 42, les équations (u") du même numéro. On voit qu'elles ne sont guère plus simples que nos équations générales. 11 serait aussi facile de particulariser les équations relatives à tel autre système de coordonnées.

Il nous serait possible de démontrer que tous les éléments de solution des diverses questions, même les plus élevées lie la théorie des surfaces, sont renfermés aussi dans nos formules des coordonnées curvilignes; mais il est inutile de poursuivre cet ordre d'idées, qui nous assignerait un but trop élevé et trop différent de celui que nous nous sommes proposé.

201. De quelques surfaces applicables. — Soient deux surfaces de genres différents, rapportées l'une et l'autre à un système de lignes géodésiques et de lignes orthogonales ; si, pour ces deux surfaces, le paramètre différentiel du premier ordre des lignes orthogonales ne dépend que d'une variable, ces deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre,

En effet, pour la première surface, l'expression de la distance de deux points infiniment voisins pris sur celte surface est, n" 141, formule (5),

(3} f/s' = JP + 1l'ih\

3o6 T.IVltE m. — DES COOHDONNÉKS GÉODÉSiyUES,

dt étaiil l'arc élémentaire géodésique el H ne dépendani quo de t. On aura de même pour la seconde surface en distinguant tes mêmes éléments par l'indice i,

(/(i étant l'arc élémentaire géodésique et H, ne dépendant que de t,. Si l'on identifie ces deux expressions, on a les conditions dt, — dt, dt — rfe,, II — Hi ; la première équation donne i, = ( + c, c étant une constante. Or, les deux surfaces étant de genre donné, H et H, contiennent : la première une fonction de / qui spécifie l'espèce de surface appartenant au genre donné, la seconde une fonction de ï,, ces deux fonctions et leurs dérivées pouvant entrer dans les deus paramètres H et H|. Cela posé, si l'on remplace /i par sa valeur t + c, et qu'on suppose que la fonction de t, qui entre dans H, {se trouve déterminée, on aura une équation différentielle que déterminera la fonction de t; el, par conséquent, l'inlégralion de cette équation déterminera la seconde surface.

Théorème de Bour. — Une surface hélicoïdale est applicable sur une surface de révolution.

En effet, dans la surface de révolution, le paramètre différentiel H, de l'arc orthogonal des lignes méridiennes ne dépend que d'une variable; or, dans la surface hélicoïdale, d'après la valeur de rf*' donnée par la formule (a) du n" 87, le paramètre différentiel de l'arc orthogonal des lignes jk, = const. de ce système ne dépend que d'une seule variable i. De plus, il est aisé de voir que ces lignes sont géodésiques: i" par la forme de ds', n"87; apparia forme de l'équation de la ligne géodésique de la surface hélicoïdale donnée au n" 129. Donc, etc.

La simplicité de celte démonstration résulte de la forme que nous avons donnée au déplacement hélicoïdal ds' au numéro indiqué.

202. Problème 1. — iieeherclie d'une surface de révolution applicable sur une surface hélicoïdale d'espèce donnée, — Soit 4'(^) If* fonction qui détermine la surface hélicoïdale dans son espèce, n" 85. Si l'on rapporte cette surface aux coordonnées u,| — const. et ( :- COnsL, comme on l'a fait au n" 87,