INTRODUCTION

i. Le problème de l'analyse d'uno courbe pewt être posé de deux manières. Dans la première, on définit la courbe par une relation existant entre un de ses points et une ou plusieurs grandeurs géométriques. On exprime analytiquemenl cette relation ; celte expression porte Je nom d'équalion de la courbe en termes finis , et la résolution de cette équation fait connaître un point quelconque. Il faut, en second lieu, déduire de cette équation une autre équation, donnant la tangente en un point quelconque, et de celle-ci, une troisième, donnant la courbure de la courbe en ce point. Ensuite, on s'occupe de sa rectification, qui consiste à trouver l'expression de la longueur d'un arc de courbe compris entre deux de ses points, et de sa quadrature qui a pour but de donner l'expression de l'aire décrite par telle ligne liée intimement avec un point quelconque de cette courbe. La deuxième manière de poser le problème do l'anaijse d'une courbe est inverse de la précédente. Elle consiste dans la relation qui lie un point de la courbe soit avec la tangente en ce point, soit avec la courbure, soit avec la longueur de l'arc, etc. Cette relation s'exprime aussi analytiquement, et il faut alors retrouver l'équation qui lie ce point de la courbe avec telle grandeur géométrique. Ces deux points de vue sont essentiellement distincts, ei correspondent à deux analyses différentes. Il a fallu plusieurs générations de géomètres pour constituer cette double analyse, en développer les progrès, et la génération actuelle en poursuit les perfectionnements.

XIV TMHOnilRTlON.

II, C'est à Descaries qu'est due l'idée iiigciniouse de la représentation d'une courbe par une équation. C'élail le premier pas vers la solution du problème de l'analyse des courbes. Ce grand géomètre détermine un point quelconque d'un plan par ses distances à deux droites données dans ce plan. Il appelle ces distances coordonnées du point, et il les représente par les symboles x et y ; or, comme la définition de la courbe est une relation entre des grandeurs données et les coordonnées d'un point quelconque de cette courbe, il en obtient immédiatement l'équation. L'étude des différentes affections de la courbe dépend alors de l'étude de cette équation. C'est ainsi qu'un problème de géométrie se trouve ramené à une question d'algèbre, pour la résolution de laquelle des règles précises sont obtenues d'une manière générale.

La conception cartésienne ne fut point stérile en résultats. Elle exerça la plus utile influence sur la géométrie. Cette conception doublait les forces du géomètre en ajoutant aux ressources géométriques les ressources de l'algèbre pour l'étude des propriétés des courbes. Aussi, le premier effet de l'union de ces deux sciences fut une classification des lignes représentées par des équations algébriques, basée sur le degré de l'équation, lequel indique le nombre des points d'intersection de la courbe avec la ligne droite. Ce caractère simple, intuitif, fut d'une fécondité telle, qu'il serait impossible d'énumérer les conséquences qui en découlèrent. Le principe de Descartes n'exerça pas une influence moins heureuse sur l'algèbre. Ce principe, en signalant les points inexplorés, ouvrait une voie nouvelle aux recherches algébriques; elle les organisait en réglant l'importance relative de ces points et l'ordre de l'exploration; enfin, elle leur donnait de la vie par la représentation physique des abstractions algébriques.

III. La deuxième partie de l'analyse d'une courbe consistait à déterminer la tangente en un de ses points. Cette question est célèbre dans l'histoire des mathématiques, non-seulement à cause des efforts des plus grands géomètres pour la résoudre, des méthodes ingénieuses, quoique particulières, inventées à cet effet par Fermât et Roberval, mais surtout parce qu'elle a été l'origine du calcul différentiel. Deux géomètres également

iNusircs, Leibiiilz ei Newton, se disputent l'iionneur de ia découverletle cet admirable calcul; mais, quelle que soit l'opinion que l'on adopte sur ce débat, on sait qu'ils ont imaginé, le premier, le calcul différentiel pour sa nouvelle méthode des tangentes : Nova methodus pro tangentibus et singulare pro illis calcul! genus, i684! le second, le calcul des fluxions, dont il fait un admirable usage dans son livre des Principes, 1687, et, en particulier, pour résoudre infailliblement le problème des tangentes dans le cas des expressions irrationnelles, comme dans tout autre cas. La doctrine des différentielles et la doctrine des fluxions peuvent différer au point de vue métaphysique, mais elles donnent l'une et l'antre la solution complète du problème des tangentes.

Le problème des maxima et des minima, qui occupa en même temps ces géomètres, n'est pas foncièrement distinct du précédent, puisqu'en un point correspondant à un maximum ou à un minimum, la tangente est ou bien parallèle, ou bien perpendiculaire à l'une des lignes coordonnées.

ÏV, La recherche du cercle osculateur d'une courbe est un problème du même ordre que le problème des tangentes; il n'est que la généralisation de ce dernier. En effet, dans la question des tangentes, il s'agit de faire passer une droite par deux points de la courbe infiniment voisins ; dans la question du cercle osculateur, il s'agit de faire passer un cercle par trois points de la courbe infiniment voisins. La différentielle première de l'équation de la courbe donne la solution de la première question ; la différentielle seconde de la même équation donne la solution de la seconde. Aussi, la théorie du cercle osculateur s'est-elle présentée naturellement à l'esprit des géomètres inventeurs du nouveau calcul, comme à l'esprit de ceux qui, ajanl accueilli les nouvelles doctrines, ont augmenté de leurs découvertes personnelles l'héritage qu'ils avaient reçu. Ainsi, Newton donne dans son Mycn Aes Principes une équation, élégante de simplicité, du rayon de courbure de la conique. L'Hôpital et les frères Bernoulli ne réussissent pas avec moins de succès lorsqu'il s'agit de déterminer, par le calcul différentiel, le cercle osculateur de la cycloïde, de répicycloïde, des roulettes, et, en général, de telle courbe

XVI IN1'R01HICT[0\.

doiil le mode de génération leur est connu. Pour être phis compliqué que le problème des tangentes, le problème du cercle osculateur n'est donc pas un problème de nature différente ; la seconde question est l'extension naturelle de la première, de même que la théorie du contact d'un degré quelconque des courbes est l'extension de l'osculation du cercle.

V. La partie de l'analyse des courbes qui se rapporte à leur quadrature et à leur rectiflcation est une question ossentiellemenL différente de la précédente. Ces deux questions, au point de vue purement analytique, sont inverses l'une de l'autre. Dans le problème des tangentes, l'ordonnée de la courbe est donnée en fonction de l'abscisse, et il s'agit de déterminer la différentielle de la fonction ; dans le problème des quadratures et des reclificaiions, c'est la différentielle d'une fonction que l'on connaît, et il s'agit de déterminer la fonction elle-même. Aussi, la solution générale de cette dernière question a-t-elle donné naissance à un calcul inverse du calcul différentiel, et auquel on a donné le nom de calcul intégral. Pris ensemble, ils constituent l'analyse infinitésimale, l'une des plus grandes découvertes qui honorent l'esprit humain.

De même que le problème des tangentes avait été partiellement résolu par des méthodes qui préparaient, en quelque sorte, ia méthode différentielle, de même aussi le problème des quadratures avait été résolu, dans quelques cas particuliers, par des procédés ingénieux et dignes d'être conservés dans l'histoire des mathématiques. Le nom de Wallis est inséparable d'une méthode de sommation qui donne l'aire de certaines courbes algébriques. Mais, il faut l'avouer, la véritable solution du problème des quadratures, c'est le calcul intégral qui l'a donnée, comme étant à la fois la plus naturelle, la plus facile et la plus générale, 11 en est de même du problème des rectifications, qui n'est pas, sous le rapport analytique, un problème distinct de celui des quadratures.

Il faut pourtant reconnaître que, si la solution de cette double question ne laisse rien à désirer au point de vue théorique, elle se trouve, dans les applications, circonscrite par

IM-fiODCCTlON. SÏIL

des iimiies que l'analyse n'a pu encore franchir, provenant lies intégrations qu'elle ne sait pas effectuer, tandis que la solution du problème des tangentes ne se trouve entravée, dans la pratique, par aucun obstacle.

VI. Le problème inverse de l'analjse des courbes n'a pas été moins fécond en utiles découvertes. En effet, le cas le plus simple d'intégration consîsle, quand on connaît la différentielle d'une fonction d'une variable, à remonter de cette différenliclle à la fonction elle-même. Or, le problème inverse de l'analyse des courbes est, plus complexe; on connaît une relation entre les coordonnées du point et les différentielles premières de ces coordonnées, et quelquefois les différentielles d'un ordre supérieur. Ces différentielles peuvent entrer soit linéairement dans cette relation, soil élevées à une puissance supérieure. Ainsi, on possède une équation différentielle du premier ordre, si la courbe est définie par une propriété de sa tangente i l'équation est du second' ordre ou d'un ordre supérieur, si elle est définie par une propriété du cercle osculateur, ou une propriété d'une courbe ayant avec elle un contact supérieur; il s'agit alors de remonter de cette équation du premier ou du second ordre, ou même d'un ordre quelconque, à l'équation entre les coordonnées d'un de ses points, indépendante de tout signe différentiel. C'est la solution de celte question générale qui constitua le but proprement dit du calcul intégral, but élevé qu'il n'a pas toujours pu atteindre. Les perfeciionnements du calcul intégral sont donc liés d'une manière intime avec le problème inverse de l'analyse des courbes.

Vil, Ce problème se présente quelquefois aussi sous une forme plus générale encore. On veut déterminer la courbe par celte condition, qu'une certaine combinaison de ses éléments, fonctions de signes différentiels, soii la plus grande ou la plus petite possible. Cette question, à raison de son élévation, présente de grandes difficultés. Euler et Lagrange ont dû recourir pour les surmonter à toute la puissance de leur génie; ils ont donné, l'un et l'autre, la solution de celte question, le premier dans l'ouvrage ; MeAliodiis iiiveniendi

yGoosle

INTROnUCTION-

l minimi proprietate gaudentes ; le second par la création d'un calcul nouveau qui a rendu les plus grands services à la géométrie, le Calcul des variations.

Telles ont été les brillantes destinées du problème général de l'analyse des courbes, d'avoir éveillé au plus haut degré l'esprit d'investigation et d'avoir produit les inventions les plus utiles. La détermination d'un point de la courbe a donné naissance à l'application de l'algèbre à la géométrie ; la question des tangentes, au calcul différentiel; celle des quadratures et des rectifications, au calcul intégral; le problème inverse de l'analjse des courbes, aux compléments, aux perfectionnements de ce calcul, et au calcul des variations. C'est ainsi que chacune des périodes de cet important problème a été l'objet d'un nouveau triomphe, et que chacune de ses étapes a été marquée d'un impérissable monument 1

VllI. L'ensemble des procédés analytiques imaginés pour la résolution complète du problème des courbes constitue une doctrine plus générale que la géométrie, indépendante de cette science, ei qui, considérée en elle-même, forme une science à part, ayant une vie propre ; mais l'excellence de ces procédés est mise en relief d'une manière merveilleuse par les applications qui en ont été fuites à l'étude des courbes. Aussi, doit-on regarder ces méthodes comme l'instrument le plus sûr et le plus précieux pour dévoiler les propriétés géométriques. La correspondance qui existe entre l'analyse et la géométrie, sans être absolument complète, est pourtant telle, que les formes de l'équation d'une courbe venant à varier d'une manière illimitée, il en résulte un nombre égal de propriétés correspondantes de la courbe elle-même; et, comme rien n'est plus simple que de faire subir à l'équation des transformations équivalentes, il en résulte que l'on connaît, ou du moins que l'on peut connaître toutes les propriétés d'une courbe équivalentes à sa définition. Mais, comme il importe de bien saisir la portée de cette correspondance, qui n'existe pas seulement pour les équations en termes finis, mais encore pour les équations qui s'en déduisent par voie de différentiation et réciproquement, il faut en préciser et en ordonner les points les plus im|)Ortants.

INTRODUCTION, XJX

IX. Éianl donnée l'éi^uaiion d'une rourbp, deuxsorles d'opéralions peuvent être effectuées sur celte équaiion ; les unes sont finies et les autres sont infinitésimales. Les premières modifient la forme de l'équation sans en altérer le sens, parce qu'aucune quantité nouvelle, soit variable, soit constante, n'a été ajoutée ni retranchée. Les secondes modifient à la fois la forme et le sens de l'équation par ce qu'elles ont ajouté ou retranché soit des quantités variables, soit des quantités constantes. C'est ainsi que la différentiation d'une équation y ajoute des variables nouvelles, qui sont les dérivées de la fonction, et elle peut en faire disparaître une ou plusieurs constantes. C'est l'inverse qui a lieu quand il s'agit d'une intégration. Supposons d'abord qu'il s'agisse de transformations résultant d'opérations finies, telles, par exemple, que les opérations algébriques; la traduction géométrique de l'équation de la courbe fait connaître deux propriétés d'un quelconque de ses points, l'une métrique qui exprime une relation entre grandeurs dont les coordonnées du point font partie, l'autre descriptive, qui fait connaître le point de la courbe comme intersection de deux lignes que l'équation met en évidence- Ces deux propriétés corrélatives sont, au fond, équivalentes entre elles. Si peu que l'équation soit modifiée dans sa forme par une opération algébrique à laquelle on l'a soumise, il y a, pour celte nouvelle forme, une nouvelle propriété métrique et une nouvelle propriété descriptive équivalentes, de sorte que ce genre de transformations est une source inépuisable de propriétés nouvelles, relatives seulement à un point quelconque de la courbe.

Les transformations qui résultent d'opérations infinitésimales ont un autre caractère. On peut toujours admelire que, par l'acte d'une première différentiation, une constante a été éliminée de l'équation, ei qu'une variable nouvelle, appelée dérivée de la fonction, y a été introduite. Cette équation différentielle exprimera donc une propriété, soit métrique, soit descriptive de la tangente à la courbe en un de ses points; or, cette double propriété possède ces deux caractères ; le premier est qu'elle correspond à la double propriété exprimée par l'équation en termes finis; le second est qu'elle appartient à touies les courbes de la série que l'on obtient en faisant

yGoosle

v4irier(inns['i^qLialioM proposée la consianu^ qui a éui élimiiioe (le sa (lifférenUelle. C'est, ainsi que l'équalion de l'ellipse, résultant de ce que la somme des distances d'un de ses points à deus points fixes est constante, entraîne comme conséquence corrélative de la tangente au même point, qu'elle fait des angles égaux avec les deux rayons vecteurs menés de ce point aux deux points fixes, et que cette propriété appartient à toutes les coniques ayant ces deux points pour foyers.

Si l'on soumet l'équation différentielle du premier ordre à une nouvelle différentiaiion, on aura une équation contenant une variable de plus, c'est-à-dire la dérivée du second ordre de la fonction et une constante de moins. Cette équation du second ordre exprimera une propriété, soit métrique, soit descriptive, existant entre un point de la courbe, la tangente et le rayon de courbure en ce point, et cette propriété sera : [• corrélative de celle de la tangente exprimée par l'équation différentielle du premier ordre ; 2" commune à toutes les équations différentielles du premier ordre dans lesquelles on donnerait à la nouvelle constante éliminée toutes les valeurs possibles. Ce serait l'inverse qui aurait lieu si l'on remontait des équations dilTérentielles à leurs intégrales.

Pour cette double raison que nous venons d'exposer, les procédés analytiques dans la théorie des courbes sont un moyen d'investigation d'une grande puissance. Si l'ensemble des propriétés des courbes constitue une mine inépuisable, l'analyse, soit finie, soit infinitésimale, est l'instrument, nous allions dire le seul instrument, en harmonie avec la richesse du sol qu'il s'agit d'explorer et d'exploiter. Il ne faut donc pas être surpris des effets merveilleux obtenus par l'application de cette double analyse à la géométrie.

X. Dans le système de coordonnées cartésien, un point quelconque du plan est déterminé par l'intersection de deux droites situées dans ce plan et parallèles à deux directions données ; les positions de ces deux droites sont déterminées par les différentes valeurs de deux paramètres qui expriment les dislances de ces deux droites variables à deux droiies fixes parallèles; ces distances sont les coordonnées du point, et les deux droites correspondantes sont les droites coordonnées.

Une relalion enire deux cuoidonnées repiéseiitc- une combe. La généralisalion de cette métliode est facile. Il esl évident qu'un point quelconque dii plan peut être déterminé par l'intersection de deux courbes situées dans ce plan, et dont les variations de forme et de position dépendent, pour chacune d'elles, de la variation d'un paramètre qui entre dans leur délinition. Ces deux paramètres sont les coordonnées du point, et les deux courbes correspondantes sont les lignes coordonnées; une relation entre ces deux paramètres ou coordonnées représente une courbe dans le sjslème général des coordonnées.

La déflnilioii d'une courbe peut varier à l'inTmi, à cause de la multiplicité de ses propriétés : mais chaque déflnilion devant être apie à déterminer un point quelconque de celte courbe, fait connaître les deux lignes particulières dont ce point doit être l'inierseclion, de sorte que, à chaque définition de courbe, correspond un sjslème particulier de lignes coordonnées ; et, ce qu'il importe de voir, c'est que chaque courbe doit, en général, être étudiée dans le sjstème de coordonnées qui lui convient d'après sa définition. On peut bien, si l'on veut, recourir au sjstème cartésien, mais cette manière est sujette à deux graves inconvénients. Le premier est de donner naissance à des complications analytiques qui ne sont pas de l'essence de la question ; car, de ce que le système cartésien est le plus simple géométriquement, il ne suit pas qu'il donne naissance à l'équation la plus simple de la courbe; bien loin de là, il introduit le plus ordinairement un cortège d'auxiliaires qui alourdissent la marche à tel point, quelquefois, de la rendre impossible. Le second inconvénient est l'obscurité qui résulte de l'emploi non judicieux de ce système. En effet, d'une part, les éléments propres de ia question s'j trouvent défigurés par la décomposition à laquelle il a fallu les soumettre pour les plier aux exigences du .'système, et, d'autre part, des éléments nouveaux, étrangers à la question, ont dû s'introduire. Or ces éléments parasites prennent un rang qui ne leur est point àù, une position qui ne leur appartient pas, et leur présence obscurcit à la fois et la marche et la solution.

En général, chaque système de coordonnées appelé par la définition de la courbe doit être maintenu dans le calcul ;

XXll INTRODUCTION.

celle méthode esl la plus correcte, la plus lumineuse, La question gagne toujours à conserver le terrain sur lequel elle est née. En effet, ce que l'on a inlérêi à voir, quand on veut rester fidèle à l'énoncé du problème et à la logique de la solution, c'est comment un point de la courbe est déterminé par l'interseciion des lignes coordonnées de la définition, comment la tangente de la première ligne dépend des tangentes aux deux secondes, par quels liens les cercles osculateurs de ces trois lignes se trouvent associés entre eux, et ainsi de suite ; or ces relations, si intéressantes au point de vue géométrique, si séduisantes par leur forme analytique, se montrent d'elles-mêmes quand on est fidèle au système de coordonnées désigné par la question; au contraire, si l'on a recours à un système étranger, obligées qu'elles sont de porter la livrée de ce système, elles restent à demi voilées et souvent n'apparaissent que sous une figure d'emprunt.

XI. C'esl ce qu'avaient fort bien compris les créateurs de l'analyse infinitésimale et leurs premiers disciples; ils éludient toujours la courbe dans le système de coordonnées donné par la définition; et, de celte manière, ils arrivent par la voie la plus simple et la plus directe aux propriétés des tangentes et des rayons de courbure, ainsi qu'à celles des quadratures et des rectifications. Cette doctrine est généralement suivie dans les ouvrages de Newton et des Bernoulli; et l'excellent traité de L'Hôpital, consacré à l'analyse des courbes planes, semble avoir été écrit pour la justifier. Ces géomètres étaient bien plus avancés que certains auteurs modernes, qui, pour avoir voulu plier toute question sous le joug du système cartésien, sont arrivés souvent à des généralités sans interprétation, à des formules sans application; s'ils ont quelquefois trouvé des relations simples, c'est plutôt par leur habileté personnelle que par la facilité de la méthode, qu'ils sont parvenus à obtenir ce succès.

C'est ici le cas d'examiner si le système de coordonnées curvilignes quelconques, dont on fait usage depuis quelques années et qui a produit des résultats si importants, soil en physique, soit en géométrie, est une généralisation nouvelle I.1II simplement rossusriiée. Le prohléme des coordonnées

INTEODUCTlOPi. XSIII

curvilignes coriisiste à connaître les relations générales qui exisienl entre les déplacements d'un point sur une courbe quelconque non plane et les déplacements correspondants des lignes coordonnées. Ces relations forment des théorèmes entre les tangentes et les courbures de la courbe et de ses lignes coordonnées. Ce problème, à ce point de vue général, n'a été résolu que par les géomètres de ce siècle. Gauss en a donné la solution dans le cas de deux lignes coordonnées quelconques tracées sur une surface, mais non complètement, comme nous le montrerons plus loin. M. Lamé en a donné la solution dans le cas de trois surfaces coordonnées, se coupant deux à deux orthogonalement, et en a fait de brillantes et d'utiles applications aux questions de physique mathématique- Ce problème avait besoin d'une solution générale s'appliquant à un système quelconque de surfaces coordonnées, se coupant sous des angles quelconques. C'est cette solution générale que nous avons donnée dans notre ihéorie des coordonnées curvilignes quelconques, présentée à l'Académie des sciences en 1862 et publiée dans les Annales de Mathématiques de M. Torlolini, dans le courant de l'année suivante, ainsi que dans le Journal de Mathématiques de Crelle, année 1860 (*). Depuis cette époque, quelques-unes de nos pu-

(*) Pluaieura géomètpea, qui, sans doute, n'aïBient pae connaissance de noire travail, ne sont occupés, après nous, du même problèma et ont publié, depuis |)eu de temps, qiielques-nnes de nos formules, les unes Imit k fait identiques aux natres, les aulrea équivalentes ou n'en différant que par un ou deux cosinus qui ont Été supposés nuls. Or nos droits de priorité, suffisamment établis par la date de nos publications, ont été reconnus par M. Lamé, l'un des membres de la Commission ciiai^éa de l'examen de notre travail, et dont l'autorité en matière de coordonnées curvilignes ne saurait être contestée. Voici «s qu'il nous, écrivait à la date du ïo déeembi'e [863. Pious sommes k l'aise en citant cette lettre, parce qn'elte renferma à la fois une critique et un éloge.

'Votre travo 1 si mémorable sur les coordonnées curvilignes reçu par l'Academ e dam la séance du s^ février dernier, et très-Dellement défini par I'bït a t nseré au Co pte rendu, a été transmis à l'examen de deux Commissaires. Le prem er e a pris rapidement connaissance. An fond, à vous seul appart pndra dcsorma a la généralisation complète du nouvel instrument matfaéma- 1 que Ma s cette gén ralisation n'offrait aucune application immédiate au premier Comm ssa re dans ses rechercbes incessanti^s, concernant la physique

latl emat que q toutes exigent impérieusement l' orthi^n alité i mais son

1 t n e t 1 noindrir par celte restriction un éloije si bien mérité.

XXIV IMKOWUCTiON.

blications onl été consacrées aux applications, dans le but de montrer l'utilité du système non orthogonal dans les questions de géométrie. Ainsi, ce n'est qu'au point de vue général que le problème des coordonnées curvilignes est un problème nouveau. Mais cela ne veut pas dire que l'emploi de ce genre de coordonnées est une invention de notre siècle. Bien loin de là, les successeurs de Leibnitz et de Newton étaient familiarisés avec l'usage de ces coordonnées, qui a été en leurs mains d'une grande fécondité et leur a permis de trouver ces relations qui nous captivent par leur forme, si . remarquable d'élégance et de simplicité.

XII. La principale raison qui obligeait ces grands géomètres à rester fidèles aux coordonnées de la question, nous parait située dans le besoin qu'ils avaient de considérer la question en elle-même et de suivre pas à pas ses transformations. C'est pour cela qu'ils effectuaient, non pas analjtiquemeni, mais géométriquement, les différenliations elles-mêmes de l'équation fondamentale; la chose revenait foncièrement au môme; mais, en opérant ainsi, ils étaient sûrs de n'avoir introduit aucun élément étranger, et ils se rendaient parfaitement compte des changements survenus.

Leur procédé peut se résumer dans les règles suivantes :

1° Exprimer comment un point quelconque est déterminé par les lignes coordonnées de la question, ce qui donne l'éqtiation de la courbe.

2° Déterminer de la même manière un point infmiment voisin ; ils obtenaient, par le déplacement de la première figure, on polygone curviligne dont certains côtés et certains angles étaient infiniment petits, et dont les côtés et les angles finis se présentaient groupés deux à deux, ne différant entre eux que par les infiniment petits. Les propriétés inhérentes à ce polygone leur donnaient une relation entre infiniment petits du premier ordre, qui était l'équation différentielle de la courbe, mais dans laquelle n'entraient que les éléments de la question et leurs différentielles premières. Cette équation offrait l'avantage d'être immédiatement traduite en langage géométrique et de donner les propriétés de la tangente.

3" Passera un troisième point, toujours parles condilions

INTllODUCTIOK. XXV

r!e la question. Ils obienaieni ainsi le déplacemcni de la figuri; polygonale curviligne dont il a été question, et, par ce déplacement, une nouvelle figure polygonale dont des côtés et des angles étaient du second ordre, et dont les autres éléments étaient groupés deux à deux et ne différaient, dans chaque couple, que par les infiniment petits d'ordre supérieur au premier. Des propriétés inhérentes à ce nouveau polygone leur donnaient une équation différentielle du second ordre, dans laquelle n'entraient encore que les éléments de la queslionj leurs différentielles premières et secondes- Celte équation se rapportait aux courbures et s'interprétait géométriquement avec non moins de facilité que la précédente, et ainsi de suite.

XIII. Quand on réfléchit sur les moyens aussi fins que variés dont ces géomètres font usage pour établir les relations résultant de chaque polygone infinitésimal entre différentielles du premier ou du second ordre, il semble qu'il n'existe d'autre règle à suivre pour les établir que l'instinct géométrique et l'esprit de sagacité. Il n'en est pourunt pas ainsi. Cette partie si délicate de l'opéralion peut aussi être systématisée et soumise à une règle simple et infaillible dans laquelle sont concentrés tous les moyens dont on peut faire usage.

A chaque polygone infinitésimal appartiennent deux relations distinctes : la première, relation de quantités linéaires ; la seconde, relation de quantités angulaires. La première s'obtient évidemment en projetant le périmètre du polygone sur une direction quelconque; on a ainsi une équation différentielle du premier ordre; et, si l'on admet que cette direction, coïncide successivement avec deux côtés du polygone formant entre eux un angle fini, on trouve deux relations simples, dépouillées de tout élément étranger à la question, ,el qui contiennent, comme conséquence, toutes les relations du même ordre que l'on peut obtenir par d'autres considérations géométriques. La seconde relation résulte du théorème sur la somme des angles du polygone plan et rectiligne ; car le polygone plan infinitésimal de la question peut toujours être considéré comme rectiligne, puisque les côtés curvilignes finis peuvent être remplacés par les lignes brisées infinitésimales

SfVl INTllODUCTION.

qui leur sont inscrites, ei les arcs iufinimcni peliis, piir los cordes qui les sous-tendent.

De là résulte que si le polygone dont il s'agit est du premier ordre, la première relation se rapporte aux tangentes de la courbe et de ses lignes coordonnées, et la seconde aux angles de contingence, et par conséquent aux courbures. Elles se rapporteraient aux variations de ces lignes ou de ces angles si le polygone infinitésimal était d'ordre supérieur.

Ces deux principes recevront une pleine confirmation par les applications incessantes qui en seront faites. Il est inutile de dire que, quelle que soit celle des deux méthodes, analytique ou géométrique, que l'on suive pour effectuer les différentiations, si l'on a eu soin d'introduire, soit dans la figure géométrique, soit dans l'équation qui en est la traduction, les coordonnées de la question, on arrivera toujours à des résultats différentiels équivalents.

XIV. Restons toujours sur le terrain des courijes planes. Les diverses définitions d'une courbe ne sont pas aptes à en dévoiler la nature avec la même facilité ; les coordonnées auxquelles on la rapporte sont elles-mêmes des éléments étrangers à celle courbe. Il est facile de voir quelle serait la définition qui atteindrait ce but de la manière la plus directe. Considérons à cet effet la courbe qui nous occupe comme un polygone infinitésimal ; il ne contient que deux sortes d'éléments, les côtés et les angles que ces côtés font entre eux. Pour passer d'un sommet au suivant, il faut connaître la longueur du nouveau côté et sa déviation par rapport à celui qui le précède. Le polygone sérail donc déterminé si l'on connaissait la loi des côtés et celle des déviations en fonction d'une même variable, ou, ce qui revient au même, la loi du rapport d'un côté à sa déviation du précédent. Si l'on passe à la limite, on reconnaît qu'une courbe serait définie, quant à sa nature, par la loi qui exprimerait le rapport de la longueur de l'arc élémentaire a sa déviation de l'arc élémentaire précédent, el si ce rapport était exprimé au moyen de la déviation intégrale, somme des déviations des éléments d'arc à partir de celui qui a été pris pour origine, la définition ne renfermerait que les éléments naturels de la courbe, sans mélange d'au-

INTIiODLGTlOS. XXÏIl

Clin éléiiieni étranger. Cette relation, exprimée géométriquement, serait la définition naturelle de la courbe; exprimée analjtîquemeni, elle en serait l'équation naiurelle , et les coordonnées fournies par la définition 'seraient les coordonnées naturelles de la courbe. Les géomètres, Euler surtout, ont quelquefois employé ce genre de coordonnées, et, il faut le reconnaître, ces idées touchent trop intimement a l'essence des choses pour qu'elles soient nouvelles.

.XV. U n'en est peut-être pas de même des conséquences qui découlent de l'anaijse fondée sor ce genre de coordonnées. Vojons quels seraient les avantages et les inconvénients de cette analyse-

Le premier avantage serait de n'introduire aucune quantité auxiliaire, étrangère à la nature de la courbe, puisque l'équation naturelle donnerait le rapport de l'arc et de la déviation élémentaires en fonction de la déviation totale comptée à partir d'une certaine origine.

Le second consisterait en ce que cette équation naturelle serait nn critérium facile et infaillible pour juger de l'identité de deux courbes; car les expressions des rapports de la différentielle de l'arc à la différentielle de la déviation en fonction de la déviation devraient être les mêmes dans ces deux courbes, pourvu que les déviations fussent comptées à partir de la même origine. Or, en augmentant la déviation d'une constante sous le signe de la fonction, cette déviation serait comptée à partir d'une origine quelconque, et on aurait l'expression la plus générale de ce rapport différentiel. On pourrait donc juger immédiatement de l'identité des deux courbes. C'est ainsi que, pour le genre épicycloïdal, l'équatioii naturelle de la courbe exprimerait que le rapport de l'arc et de la déviation élémentaires est proportionnel au cosinus de l'arc multiple de la déviation ; en augmentant celte déviation sous le signe cosinus d'une constante, on aurait l'équation la plus générale de l'éplcjcloïde, puisqu'elle serait rapportée à une origine quelconque; il faudrait donc que l'équation naturelle de toute courbe qui appartiendrait au genre épicycloïdal se présentât sous cette dernière forme.

Le troisième avantage serait d'établir la distinction des

XXÏiK INTUOPL'CTiON.

classes, des l'amilles iialurelles de courbes, el de l'aire connalire le degré de parenté de celles qui appartiennent à la même famille. On peut dire qu'une classe se trouverait caraciérisée par Ja forme de la fonction de la déviation exprimant le rapport différentiel de l'arc et de la déviation. Or, comme sous chaque signe de fonction peuvent entrer différents paramètres, les variations des paramètres donneraient naissance à une infinité de courbes, fl est évident que !a parenté des courbes provenant de la variation du même paramètre, serait plus grande que celle des courbes qui proviendraient de la variation de paramètres différents; on pourrait donc admettre que toutes les courbes qui correspondent aux différentes valeurs d'un même paramètre, sous le signe fonctionnel, appartiennent à la même famille. Les courbes d'une même famille pourraient pourtant avoir des caractères individuels tellement tranchés, que les équations de ces courbes, dans tout autre système que le système naturel, dans le système cartésien par exemple, différeraient radicalement entre elles. Pour prendre un seul exemple : dans le genre épicycloïdal, la variation du paramètre qui est facteur de la déviation sous le signe trîgonoménique de l'équation naturelle, donne des cQurbesalgébriques de tous les degrés, et des courbes transcendantes de toutes les formes. 11 en est de même des courbes contenues dans le genre chaînette, etc. La richesse et la fécondité de cette analyse sont indiscutables, puisque plusieurs familles de courbes, composées chacune d'une infinité d'individus distincts, sont condensées en une seule équation naturelle, même de forme la plus simple, laquelle permet de mettre en activité chacune de ces individualités et dévoile les liens qui les unissent entre elles,

Le quatrième avantage serait de faire connaître les courbes qui dérivent les unes des autres d'après certaines lois, et de signaler le genre de dérivation qui les rattache les unes aux autres. C'est ainsi qu'on reconnaîtrait les courbes parallèles à ce caractère, que les expressions du rapport de l'arc élémentaire à. la déviation élémentaire ne différeraient que par une constante; les courbes semblables et semblablement placées, à ce caractère, que les expressions de ce rapport seraient entre elles en raison constante. On obtiendrait les dévelop-

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pées succossives d'une courbe en prenant les dérivées successives de ce rapport. Il ne serait pas plus difficile d'obtenir les développantes, ainsi que les développées obliques, de même que plusieurs autres courbes qu'il n'entre pas dans notre bul d'énumérer mainienani.

Ces avantages ne sont pas indifférents, puisque dans beaucoup de questions où des géomètres de valeur, et L'Hôpital lui-même, n'ont pas reconnu la nature de la courbe, l'emploi des coordonnées naturelles la leur aurait fait connaître d'une manière intuitive, leur montrant en même temps ses liaisons avec telle autre courbe de la question, liaisons qui sont restées cachées à leurs yeux par suite des coordonnées dont ils faisaient usage (').

XVi. Le seul inconvénient de cette analyse consisterait dans sa généralité. L'équalion qui se rapporte à la définition naturelle de la courbe est essentiellement une équation différentielle du second ordre; alors, quand on veut obtenir son équation en termes finis, on se trouve en présence d'intégrations quelquefois impossibles à effectuer. Pourtant ce problème se ramène toujours à deux quadratures distinctes. Car, en projetant l'arc éiémenlaire sur deux directions rectangulaires, ces deux projections sont évidemment deux différentielles, fonctions d'une seule variable, qui est la déviation; et, en les intégrant, on obtient les coordonnées d'un point quelconque de la courbe en fonction de cette variable, dont l'élimination conduit à l'équation de la courbe en termes finis dans le système de coordonnées rectilignes. Mais il est ordinairement préférable de ne pas effectue* celle élimination, et de conserver les deux coordonnées cartésiennes exprimées en fonctions de cette troisième variable, pour représenter la courbe. Souvent il sera plus simple d'étudier les propriétés de la courbe par la discussion de son équation naturelle, et il

(*) Fo7« VJ/ialrse des infiniment petils de L'Hôpital, n" 123, Eiemple V. Ce géomètre détermine iin point quelconque de la caustique cherchée, aaus rien apprendre, contre son habitude, sur la nature de celte caustique, que l'on reconnatt être une parollète de la cycloide dès que l'on introduit dans la ques-