XXX INTRODUCTION

sera nécessaire rie le faire lorsque les iniégralions ne pounoiu s'effecluer.

XVII. Le problème des courbes planes est un cas particulier du problème des courbes- tracées sur une surface quelconque ; il convient de voir maintenant les modifications qui s'introduisent dans la question et dans l'analyse de la courbe par suite de la substitution d'une surface quelconque au plan,

La représentation de la courbe par une équation entre deux variables a également lieu sur la surface. En effet, un point de cette surface peut être déterminé par l'interseciion de deux courbes situées sur cette surface, telles que leur variation de forme et de position dépende, pour chacune d'elles, de la variation d'un paramètre enlrantdans sa définition. Les valeurs de ces deux paramètres sont les coordonnées du point ; les deux courbes correspondantes à ces valeurs sont les lignes coordonnées. Une relation entre ces deux paramètres représente donc, dans ce système de coordonnées, une ligne tracée sur la surface. Il est évident que tout ce que nous avons dit dans les n"' X et XI, sur les différents systèmes de coordonnées planes, se rapporte également aux différents systèmes curvilignes au moyen desquels une courbe pent être tracée sur la surface; seulement, les raisons que l'on a de rester fidèle aux coordonnées de la définition de la courbe, empruntent une nouvelle forcede la considération de la surface- sur laquelle ces lignes sont situées. La réduction de l'équation au système cartésien ne servirait qu'à compliquer et à obscurcir l'analyse encore plus que lorsqu'il s'agît de courbes planes.

Il y a pourtant un système de coordonnées que l'on a souvent intérêt à introduire à cause des simplifications qui en sont la conséquence : c'est le système composé de lignes géodésiques et de leurs trajectoires orthogonales. Une ligne géodésique jouit de cette propriété, qu'elle représente sur la surface le chemin le plus court d'un point a un autre de la ligne. Cette propriété entraîne comme conséquence qu'en un de ses points, le plan osculateur de la courbe est normal au plan tangent à la surface, et, par conséquent, que la projection de l'angle de contingence de la courbe sur le plan langent est nulle. Cette circonstiincc iniroduil une première simpiifioa-