Problème I, — Enveloppe d'un rayon vecteur géode
ds sique, coupant une courbe -j- := P soiu un angle [3 dont la loi
est donnée par l'équation ^ ^:^ D, P étant unefonviion de e,
et J) une fonction de j3.
Hayon vecteur géodésiqua de l'enveloppe. — Soil dk l'élément de l'arc orthogonal, on a dh=i^(p, e)de, ^[p, e) étant le paramètre différentiel du premier ordre dans ce système de coordonnées; or, an point de l'enveloppe, dh est nul et p devient égal à /. On a donc l'équation
qui détermine le rayon vecteur géodésique de l'enveloppe
Tangente. — 5 étant nul au point de l'enveloppe, appelons |3| l'angle sous lequel l'enveloppe est rencontrée par le rayon t; la formule
rtonl le (iénominaleur tisl nul en ci: poini, montre ijue l'angle
266 LIVBE in. — DES COORDONNÉES GËODËSIQUES.
[3, esi aussi nul et que, par suite, le rayon vecteur t est en son extrémité tangent à la courbe-enveloppe dry.
Différentielle de l'arc d-j. — On a aussi la formule
da^ — dt + ds cos^;
(m en déduit, u„ éianl la constante de l'iniégration,
(3) (7 — £7,=r^-ï+ fds cos^ — ~ e + f\)cospdf^; d'une autre part, on a la relation
(4) s=.j'pde=fl>dp.
qui donne [5 en fonction de e; on a donc a en fonction de e.
Angles de contingence, ~ Soit dp la distance géodésique de deux arcs orthogonaux intîniment voisins, on a
(5) di7 = -- dt + rfscosp.
Si l'on applique le ihéorème de Gauss au triangle dont les côtés géodésiques sont t, t-h dt, et dont la base est ds cos (3, l'on a
or (-J-) de est égal à dw, l'équation précédenle se réduit
donc à
(6) di7=-.''^de.
dp
Rayon de courbure de du. — Soit lï ce rajon de courbure; si l'on divise les deux membres de l'équation (5) par les deux membres de l'équation {6), on obtient
, , „ -f/(-hû!iCosS — Jj'(e)(](e-J-DcosB(/S
dj) dp
équation qui hh connaître 11 en Ibnciion de c.
chai'itm; m. — systSme invlrse. 267
On en tléiluh, par éliminalion, l'équaiion naturciio de la courbe da.
180. Relation entre les rayons de courbure tangentielle de la courbe directrice ds et de l'enveloppe da. — Si l'on exprime dh en fonction de ta dislance géodésique t et de l'angle de contingence dt de l'enveloppe, on a (3). n" 141, (8) </A:=-H(i,£)rfs, ,dm^\i'{t,i)dt:
or, l'équaiion (4), prise simultanémenl avec la relation
dans laquelle l'angle [3 est compté en sens inverse, fournit les relations suivantes, dans lesquelles R est le rayon de courlnirc tangentielle de l'arc orthogonal dk :
d^ B de ïi
'9' (^w""Dsin[3' dw""Psin(3'
Donc si l'on différenlie par rapport à e l'équaiion
on obtient
dt}. IFR' /cosp ?! , 5^\ '"' t/s ^ sin'P \ DR '^ P' B')'
dans laquelle P' 'est la dérivée de P par rapport a e, et l>' est Ja dérivée de D par rapport à |3, Or le rayon R, qui est égal au
rapport j^t étant une fonction de f et de s, donne par la différentiation une espression de la forme suivante ;
A et B étant des fonctions déterminées de ( et de t. Maintenant si l'on remarque que l'équation ( 7 ) peut s'écrire sous la forme
(r3) IÎ---n'RcotS-^,
yGoosle
3Ô8 LIÏHi; m. — DES COOKDdNNÉKS gEouèsiques.
' N ' ; -11 + A + H'Ncos[3 H'U'sinp + nco sjS
*"^* j H'P'sinp+^cosp
qui permet de construire le rayon de courbure II de l'enveloppe dcr au moyen des données de la question.
Dans celte équation A est linéaire, B et H' sont deux rapports, et il est aisé de voir que les deux dérivées H' et 5' sont liées entre elles par la relation
(.5) "'5'=Tr^u-
Lorsque la surface est un plan, il faut dans les l'ormuies précédentes poser
Si la surface est une sphère, il faut poser les relations suivantes :
A = o, BH'~ — cos*T, Hi=r((sinT, H' = cost.
Il en résulte des formules que nous nous dispensons d'écrire. § II. — Des développées par haïons vecteurs géodèsiques.
181. Problème II. ~ Trouver la développée par rayons veoteurs géodésiques d'une ligne donnée.
On appelle ainsi l'enveloppe d'un rayon recteur géodésique consiammeni normal à une courbe -y- = P, tracée sur une surface donnée.
Pour trouver les éléments de la développée, il n'y a qu'à supposer p égal à - dans le calcul précédent; on obtient ainsi ;
Rayon vecteur géodésujue de l'enveloppe. — Il est donné par l'équation
