ET SYNTHÈSE. 3G

50. Lorsque des méthodes ont reçu des noms depuis- long-temps , et que d autres, au contraire , n'ont point encore tte qualifiées; il est certainement bien permis , en toute rigueur , de dépouiller les premières de leurs dénominations pour les transporter aux dernières ; cependant , comme enfin il faut pouvoir dans le discours désigner les unes tout aussi bien que les autres , U deviendra nécessaire de remplacer pour les premières , par des dénominations nouvelles , les dénominations qu'on leur aura ainsi enlevées. M«is alors ne serait-il pas revenu au même dans le fond , et n'aurait-il pas été beaucoup plus raisonnable d'appliquer de suite ces dénominations nouvelles aux dernières méthodes, et de conserver aux premières des dénominations consacrées par un long usage , et tout-à-fait d'accord avec l'élymologie ? Cela devient plus important encore , lorsq-e ces dénominations sont en usage dans diverses sciences qui peuvent ne pas s'accommoder toutes également bien de cette transposition de noms (*).

51. Pour que deux méthodes puissent être réputées l'une synthétique et l'autre analitiquc , M Carnot exige que ces méthodes soient essentiellement différente*; cependant il résulterait de ses idées sur l'analise et sur la synthèse qu'une même opération serait tantôt analitiquc et tantôt synthétique , suivant le rapport de grandeur drs quantités soumises au calcul ; et que même lorsqu'on opérerait sur des symboles généraux ou indéterminés , on ne pourrait point dire , après l'opération terminée , quel procédé on a suivi ; puisque ce ne serait que par des applications numériques qu'on pourrait savoir si, dans le cours du calcul on a ou on n'a pas passé par des lormes algébriques.

(*) Il est évident , pnr exemple que , si l'on se détermine avec M. Carnot , A consacrer exclusivement les mots analise et synlhèsc à désigner l'emploi et le nonusage des formes algébriques, il fau Ira nécciss'. entent bannir ces mois de I» langue de U chimie , puisque la il n'y a et il ne saurait y nvoir des forw» algébriques. 11 est douteux que les chimistes se prêtent volontiers à cet arrangement.

lomt Fil. 5o

37o ANALISE

Or , de quelle importance peut-il être de qualifier par deux dénoS minations différentes un procédé unique , suivant que les objets auxquels on l'applique ont entre eux tel ou tel autre rapport de grandeur? -

5a. Nous comparerions volontiers M. Garnot à un étranger qui , habitant la France depuis peu de temps , et ne connaissant pas encore bien exactement la valeur des mots de la langue française , se serait proposé de deviner de lui-même , par la seule fréquentation du monde , la véritable signification des mots synthèse et analise. Cet étranger , en e/Tct , aurait pu raisonner à peu prèa comme il suit : « J'entends parler de toutes parts de l'extrême » supériorité de l'analise sur la synthèse , et lui attribuer les im- » menses progrès qu'ont fait les sciences exactes dans ces derniers » temps. J'entends dire aussi que l'analise est une invention toute » moderne ; que les anciens géomètres n'ont procédé que synthé- » tiquement ; que Newton lui-même n'a point procédé dans ses » Principes d'une manière différente ; et que c'est sur-tout entre v les mains des Clairaut , des Eu 1er , des Dalcmbert , des Lagrange 9 et des I/aplacc que l'analise a reçu un accroissement si prodigieux. » Je compare donc les écrits des anciens, et même ceux de Newton

* aux productions de ces illustres modernes , et je m'aperçois que , » tandis que ces dernier? me mènent à la vérité à travers une » multitude de symboles hiéroglyphiques inintelligibles pour mon » esprit, que tandis qu'ils perdent long-temps leur objet de vue, j> pour s'occuper exclusivement de ces symboles , et des diverses >. combinaisons dont ils peuvent être susceptibles , les autres , au » contraire , n'abandonnent jamais leur objet , et ne m'en montrent » jamais que des transformations et combinaisons réalisables , et que mon » esprit peut concevoir; mais je vois , en même temps que, tandis que

* la marche de ceux-ci a quelque chose de traînant et d'embarrassé, » celle des autres, au contraire , quoique moins lumineuse , est ineom* » parablement plus rapide , et qu'elle est susceptible de s'élever à » des hauteurs où l'autre ne saurait que très-difKcilemept atteindre ;

ET SYNTHÈSE. 37i » je me trouve donc fondé à soupçonner , avec beaucoup de vrai- » semblance , que c'est principalement l'emploi ou le non-usoge >» des symboles hiéroglyphiques , des formes algébriques inintelligibles , » qui constitue la différence entre l'analise et la synthèse ».

53. Mais notre étranger aurait pu tout aussi Lien raisonner ainsi ;

* Je vois chez les modernes un algorithme lout-à-fait inconnu aux r anciens ; mais j'aperçois en môme temps que cet algorithme r.e » présente qu'une traduction abrégée de la manière de raisonner et » do découvrir la vérité que Platon avait enseignée à ceux-ci, et » que son principal avantage est seulement de réduire le raisonnement

> à des procédés sûrs et purement mécaniques ; ce qui a permis à

* un plus grand nombre d'hommes de s'occuper des spéculations

> mathématiques , d'en perfectionner l'instrument , et de les pousser » plus avant ; je rencontre en outre parmi les inventions des mo- » dernes l'usage de représenter les grandeurs par des symboles géné- » raux et indéterminés ; j'y rencontre aussi lés méthodes différentielles » et intégrales ; et je suis fondé à croire que c'est à l'ensemble de » toutes ces diverses ressources que les modernes doivent leur supé-

* riorité en mathématiques. Je sais d'ailleurs fort bien que tous ceux » qui parlent la même langue n'attachent pas constamment les » mêmes idées aux mêmes mots , que quelquefois même ils négligent » d'en faire un usage exactement conforme aux idées qu'il y attachent , » et qu'enfin , par répugnance pour les mots nouveaux , ils emploient » souvent un même mot sous des acceptions diverses. 11 est donc » possible et même fort probable que , donnant au tout le nom a de la partie , ils auront , par abus de langage , compris sous la » dénomination commune d'analise l'ensemble des moyens qu'ils ont » créés pour perfectionner îes sciences exactes ; mais il s'en suivra » uniquement qu'en s'expriuiant ainsi , ils s'expriment d'une manièie « peu rigoureuse , *t que l'analise et la synthèse , proprement dites , » n'en demeurent pas moins, suivant l'étymologie , ce qu'elles étaient » au temps de Platon ».

54. flous n'avons pas besoin d'observer , au surplus , que les

37a AN ALI SE ET SYNTHESE.

Idées do M. Carnot sur l'analisc et sur la synthèse ne sont pas mieux d'accord avec celles de Coodiliac qu'avec les nôtres. Si on les. adoptait , la qualification de méthode ténébreuse que Gondillac donne , on ne sait pourquoi , à la synthèse , conviendrait incomparablement mieux à l'analisc. Mais , une méthode , tout comme une route souterraiue, jour être ténébreuse , peut fort bien , malgré cela, n'en être pas moins sure, et c'est là , en effet, le cas de l'anal ise, dans le sens que M. Carnot attache à. cette expression.

55. C est sans doute une très-heureuse témérité , de la part des géomètres , que d'avoir osé soumettre au calcul certaines expressions dont ils ne pouvaient eux-mêmes avoir une idée bien nette à l'époque où ils se sont déterminés à en faire usage; et cette témérité a puissamment ■•«•ut: buéau progrès de l'analisc. Rien ne s'oppose certainement à ce qu'on caiacterise l'usage de ces expressions par une dénomination part ulic.c; mais il nous parait, encore un coup , souverainement raisonnable de conserver aux mots synthèse . et analise une signification h la fois conforme à l'étymologie et consacrée par un long usage. On ne pourrait d'ailleurs leur donner . une nouvelle destination , qu'en les remplaçant , dans la leur , par d'autres mots qui , avec quelque soin qu'on les choisisse , aurait long-temps contre eux la défaveur dont nou» frappons constamment tout ce qui s'écarta de nos habitudes.

QUESTIONS RESOLUES. 373

QUESTIONS RÉSOLUES

Ébauche de solution du problème de géométrie proposé , ? . à la page 128 </e ce 7*ec«etf ;

Par un Abonné.

Énoncé. Démontrer que , quelles que soient la nature et la situation respective de deux sections coniques , tracées sur un même plan , il est toujours permis de considérer leur système comme la perspective du système de deux cercles , tracés sur un autre plan ? Déterminer , en outre , toutes les diverses situations de tyil qui donnent , en ejfel , le système de deux cercles pour perspective de ces deux courbes ?

Solution. Tout se réduit évidemment à trouve^. iLeux cônes de même sommet , ayant ces deux courbes pour bases , et qui soient tels que leurs actions , par un môme plan , convcnablemènt dirigé , soient deux cercles. ;,,

Soient pris des plans coordonnés rectangulaires ; et supposons . que )c plan des xy soil celui des deux courbes doip,t, ,il> #'ag^t; soient a 9 £ , f les coordonnées du sommet commun de deux cônes.

3tf QUESTIONS

ayant ces courbes pour bases. Si un même plan peut couper ces cônes suivant deux cercles , il devra en être de même de tout autre plan parallèle à celut-li ; d'où il suit qu'il est toujours permis de supposer que le plan coupant passe par l'origine.

Soit donc prise pour équation de ce plan coupant

Soient «, fi, ytlea coordonnées du centre du cercle résultant delà section de l'un des deux cônes par ce plan ; on devra avoir

Sî ensuite on désigne par r le rayon de ce cercJe, il se trouvera être l'intersection du plan (i) avec la sphère ayant pour équation

Cela posé, soient

les équations d'une droire quelconque passant par le sommet du céner combinant ce» équations avec l'équation (x),on trouvera, peu* loi ^ordonnées de l'intersection de la droite (4) et du plan (i),

r — pa—çb

e—<pa — <jb l—-pm—qn

SI donc on veut que la droite (4) soit une génératrice du cône ; il faudra que ce? coordonnées satisfassent k l'équation qc la sphère (3) ; ce qui donnera

ou , en développant et rassemblant les termes de même nature

ou encore

!(*-• #)"+('— *),--r,Ki -pm-fny

Telle est donc la relation qui doit exister entre m et n pour que les équations (4) appartiennent à une génératrice du premier de* deux cônes.

On obtiendra donc l'équation de ce premier cône , en éliminant n et n de 1* équation (6) , au moyen des équations (4) i ce donnera, en chassant les dénominateurs ,

+'j~pa— qb)%x— oy+tr-K+^-cy^o . (7>

En faisant z=o , dans cette équation, on trouvera , pour l 'intersection du crtue avec le plan des xy

on en développant , ordonnant et ayant égard a l'équation (a) \ «n vertu de laquelle