DES COORDONNÉES
(i— fl*)»'— ïfofiy
ou , par la relation (4) ,
1— {a*+fo+cy)' ;
ou enfin , par la relation (6) ,
1— a* , ou l*+c* .
Il Tiendra conséquemmenl
A cause du radical de la valeur primitive de m, on pourrait concevoir du doute sur le signe du second membre de cette dernière équation ; mais en remarquant que , par la nature du problème , on doit avoir en même temps «=i et M=i , on se convaincra que ce signe doif être positif.
Présentement, on tirera des équations (4>6, 7>> en ayant égard aux relations (3 , 5)
Pour lever l'ambiguïté des signes , supposons que l'axe fixe r soif symétriquement situé par rapport aux axes des coordonnées primitives , et que l'on Tasse faire au système un tiers de révolution entière autour de cet axe ; il est clair qu'alors l'axe de* / deyra coïncider
60 TRANSFORMATION DES COORDONNÉES, arec Taxe des y, on aura donc «=o , *= i , y—o ; maïs, dans la même hypothèse l'équation (3) donne a=i=c=~^î ; et Ton a de plus ot= — } , 1-/71=} , /i=i^l , tti=tff =j , cn=bn=\ ; ab(i — m] —ac[i — m) = f ; ce qui doone *=;^; . et prouve ainsi que ce sont les signes supérieurs qu'il faut prendre. On a donc ainsi
Cos.(/,*;=a'(i-»0+m , Cos.(/ , y)=.ab(i—rnj-\-cn ,
Cos</ , z)zzac{i-m)—bo ; et Ton aura semhlablement
C<»<»»r)=^(i— , Cos.(* , x)=*»(i— m)~h» ;
Cos<« , z)=bc(i — my+an , Cos^ , ;r)=*<i-m)+** .
Cos.(« , x)=ai^i—m)—cn ; Cos^ , y)=bc(t—m)—an ; «Toi on conclura , par les formules connues , .
Ce sont là les formules demandées , dans lesquelles les cinq constantes a t b , c , m t n , sont liées entre elles par les deux relations
«•-4-^+^=1 , flB'-4-/»'=i ;
Les trois premières fixent la situation de l'axe de rotation; les deux autres déterminent la quantité de cette rotation.
RECHERCHES SUR LES POLYGONES. 61 Si Ton veut repasser du système transformé au système primitif, il faudra faire
/=={a»(i-OT)+mj*+|^(i-m)+«jr+Ki-w)-^]r .
i — m)+m}y+{6c( i — m)+an}z+ \ab{ i — m)—cn}x , #»= i ~m)+m)z^co(\—m)-\-bn)x+{bc(i --m) — an\ y ;
formules qui ne diffèrent des précédentes qu'en ce que x , y , z ? y ont pris respectivement la place de / , u , t? , et réciproquement , et que n y a changé de signe. U est très-aisé de se rendre raisou de cette dernière circonstance. i. s
POLYGONOMÉTRIE.
Recherches sur les polygones , contenant la solution du problème proposé à la page 256 du VI,* volume de ce recueil ,
Par M. Bérard , principal et professeur de mathématiques du collège de Briançon , membre de plusieurs sociétés savantes.
JPllOBLÈME l. Construire un quadrilatère dont les quatre côtés soient donnés , tant de grandeur que de disposition consécutive ; et qui soit équivalent au quarré construit sur une droite donnée ? Solution. Soit AfiCD le quadrilatère demandé; soient fait* AB=tf /
6a RECHERCHES BC=3 , CD=s* , DA=</ ; et soit k* le quarré donne*. Tout se réduit évidemment à trouver l'une des deux diagonale», AC par exemple. Nommons s cette diagonale ; nous aurons
'Aire ABC = -y wx^ibijc+iaii,'— ,
Aire ADC=^y/acjx1-t-aJ^j;^-i£'J^ — x*—c< — «/♦ ;
ajoutant donc ces deux équations, muliipliant par 4 et ayant égard à la condition du problème, il tiendra
l/a(a»+6»>**— (a»— 4»)'— «t -f- ^/aC^-M1)*1— Ce1— ^,)î— «♦=s4** » équation qui doit donner x.
En chassant les radicaux, et faisant, pour abréger,
m tiendra
équation du quatrième degré qui se résout à la manière du second (*). Ce problème conduit naturellement au suivant :
(*) On peut obtenir bien simplement l'angle des deux diagonales du latère. Soit O leur intersection, raisons
OA=r. , OB=*4 , OC=y , OD=> r^.AOB=^.COD=# , d'où Ang.BOC=Ang.DOA*z*—ê.
SUR LES POLYGONES. & PROBLÈME 11. Entre tous les quadrilatères oui ont Us mimes côtés , se succédant dans le même ordre , quel est celui qui a la * plus grande ou la moindre surface?
Solution. Tout se réduit évidemment k trouver la valeur de s qui rend maximum ou minimum la quantité
égalant donc sa différentielle à zéro , il viendra
Cos JiOB= Cos.CODsz— <7w30C=îr^w4)pA=Ços.i ; , ci ensuite
4*'=(-/i+/«y+vH-/-)Sin.# ; (i) nom auron de plus
a-aCos.Isse'+â»—
2lyCoS.#=£sw4'— y* 3y>C0Si< = X* ,
alors la somme de ces quatre demîcrci équations par l'^itîm (0 , U viendra , toutes réductions (sites ,
Cot.t~~' •
g< RECHERCHES
Transposant , quarrant et chassant les dénominateurs , on aura
ou , en développant , réduisant et transposant , c'est-'a-dire J
te qui donne ces deux valeurs
'on trouve aisément d'ailleurs que les signes supérieur» répondent au minimum.
On déduit de là
Coj.ABC= — i-r — = , , . ,
c«judc= 2*^2 = *+*~*7* =-C«.ABC .
Les angles ABC , ADC sont donc supplément l'un de l'a u ire ; il en est donc de même des angles BAI) * BCD ; le quadrilatère est donc injcripllble au ce/clc.
Si
