ANALISE TRANSCENDANTE
Méthode nouvelle pour quarrer les courbes , et intégrer , entre des limites données, toute /onction différentielle d'une seule variable ;
Par M. Bérard , principal du collège de Briançpn, membre de plusieurs sociétés savantes.
M. Kramp a publié ( Annales Je mathématiques , tom. VI , pag. 281 ) une méthode ingénieuse , dont la première idée est due âV M. d'Obenheim , pour intégrer , entre des limites données, toutes sortes de fonctions à une seule variable. L'esprit de cette méthode consiste à décomposer le trapèze curviligne qu'on veut quarrer , successivement en 2,3,4, 6 et \i autres trapèzes ; on a ainsi des aires qui approchent de plus en plus de la véritable aire qu'on cherche. On imagine ensuite que ces aires sont les ordonnées d'une courbe qui se rapproche , de plus en plus, d'une ligne asymptotique , et l'ordonnée de cette courbe correspondante à ar=o est une valeur très-approchée de l'aire cherchée.
Il faut cependant convenir que cette méthode a quelque chose d'empirique qui ne satisfait pas pleinement l'esprit. L'équation par laquelle on lie les aires successives aux termes de la série est en-tîèrement arbitraire ; les résultats- que l'on obtient varient' suivant h loi des exposans de x , dans la valeur générale de y ; loi qui semblerait devoir varier suivant les difFérens cas. Il arrive dène ainsi* Tom> Vil , n.° IV , 1." octobre 1816. i£
io2 FORMULES
que cette méthode ne procure pas réellement le degré d'exactitude qu'on croirait être en droit d'en attendre (♦).
M. Gergonne , dans un mémoire qui fait suite à celui de M. Kramp , a proposé un perfectionnement qui repose sur une idée séduisante, mais qui malheureusement ne réussit qu'imparfaitement, et quelquefois même éloigne du but. Ce géomètre cherche diverses aires de plus en plus approchées , à la manière de M. Kramp , en employant successivement di/Térens diviseurs. Il considère ensuite ces aires diverses comme les termes d'une nouvelle série , dont il cherche , toujours par les formules de M. Kramp , le terme qui répond à x = o. Ce procédé est inexact , parce que la loi qui lie les termes de la nouvelle série est inconnue , et que l'hypothèse qu'on adopte aibitraircmcnt ne saurait réussir qu'imparfaitement ou par hasard. Aussi , si l'on applique cette extension de la méthode à la recherche du logarithme de 2 , en employant 17 ordonnées , on trouve des résultats qui s'éloignent de plus en plus de la vérité , a mesure qu'on pousse plus loin le procédé.
M. Kramp parait avoir reconnu les inconvéniens de sa première méthode, puisqu'il en a proposé une autre ( tom. VI, pag. 37a). Cette seconde méthode parait en effet préférable à la première ; elle consiste (**) à faire passer par un certain nombre de points donnés , sur la courbe proposée , une courbe parabolique y=A. -^-Ejr-J-C^'-hDjr'H-.... ; cette courbe parabolique coïncide d'autant
(*) L'observation critique de M. Bérard est très-juste ; mais elle porte malheureusement sur toutes les méthodes connues d'interpolation , dont pourtant on ne saurait se passer. On verra , au surplus , que le procédé que M. Bét arJ substitue à celui de M. Kramp n'est pas lui-même exempt d'arbitraire , et conséquemment d'empirisme. Il serait im'-me assez difficile de concevoir que cela pût être autrement; attendu que cela tient intimement à la nature de la question.
(••) M. Lacroix ( Traité du calcul différentiel et du calcul intégral , tom. H ♦ pu^e l4* ) annonce , pour son troisième volume , une méthode à peu près semblable. ( xVofe d« routeur ).
D'INTÉGRATION. io3 mieux avec la courbe à qoarrer , que le nombre des ordonnées cherchées est plus grand ; et il ne s'agit plus ensuite que d'intégrer la formule y&x , composée alors d'une suite de monômes inlégrables.
D'après ce principe , M. Kra m p a calculé douze formules, correspondant aux cas où l'on connaît 2,3,4, 12 ou i3
ordonnées de l'espace a quarrer. L'usage de ces formules est trèssimple. La substitution des valeurs connues des ordonnées donne , sur-le-champ , l'aire cherchée /Xdx , plus exactement et plus brièvement que par les séries ou toute autre méthode connue.
M. Kramp s'est arrêté h la formule relative à i3 ordonnées : « J'aurais désiré , dit-il , de pouvoir continuer cette table , jusqu'au » diviseur 24 ; mais l'immensité du travail m'a effrayé. Il doit sans » doute y avoir quelque méthode beaucoup plus abrégée que celle » que nous avons suivie j niais, jusqu'ici du moins , je l'ai cherchée » vainement. »
M* Kramp n'ayant pu trouver les formules relatives à un nombre (l'ordonnées plus grand que 1 3 , a cherché à y suppléer , en combinant les formules de son tableau ; mais le surcroît d'exactitude qui en est résulté n'est pas assez important pour ne rien laisser à désirer. J'ai donc cherché à perfectionner un travail si utile ; j'aivaincu la difficulté qui avait arrêté M. Kramp ; et j'ai eu la satis— ■ faction de rencontrer une nouvelle manière de procéder , qui n'arien de commun avec celle de cet habile géomètre , et qui permet de pousser l'approximation aussi loin qu'on le désire.
§. I. Exposé d'une nouvelle méthode*
Le problème qui nous occupe peut être énoncé ainsi : PROBLÈME. Connaissant les deux ordonnées extrêmes duw arc de courte , ainsi que plusieurs ordonnées intermédiaire* équidistantes ; exprimer , en fonction de ces ordonnées , et de l'intervalle commun qui les sépare r-, l'aire mixtiligne comprise entre les- deu& ordonnées extrêmes >, la courbe et taxe des x£
to4 FORMULES
La solution de ce problème sera aussi celle du problème de l'intégration des fonctions d'une seule variable , entre des limites données ; puisque intégrer XAx , c'est quarrer la courbe qui a pour équation y=-X.
Solution. Soient en général y0 , y, , yt ....... yn les ordonnées
connues et équidistantes de la courbe f=-X qu'il s'agit de quarrer entre les limites y, et yn. Pour plus de simplicité , prenons pour unité l'intervalle commun qui sépare les ordonnées consécutives, et supposons que la première yQ réponde a l'abcisse jr=o. Soit enfin S l'aire cherchée z=fXàx.
Pour fixer les idées , supposons les ordonnées données au nombre de sept seulement. Ce que nous dirons de ce cas particulier pourra facilement s'appliquer a tout autre.
*.* Je remarque que, quelle que soit la valeur de chacun des coefficiens de la formule que nous cherchons , les ordonnées éga» iement éloignées des extrêmes doivent y jouer le même rôle ; puisque la première peut être prise pour la dernière , et vice versa : ainsi , par exemple , yt et y4 doivent avoir le même coefficient.
Cette observation réduit de moitié le nombre des coeflieiens à trouver , e< prouve que la formule doit être de cette forme :
a* Les coefficiens inconnus A , B , C , D , doivent être tels que , quand la courbe proposée y—X est quarrable , la formula {F) donne, pour l'aire S , une valeur numérique, connue et exacte. Ainsi, il est nécessaire et suffisant que ces coefficiens satisfassent à quatre cas particuliers , que l'on pourra d'ailleurs prendre» d'une infinité de manières dilFérentes ; mais parmi lesquels on fera k>ien de choisir les plus simples , pourvu qu'elles soient distinctes ei qu'etles ne soient pas comportées les unes par les autres.
3.° Supposons , pour premier cas particulier , que la ligne à qnarrer est une droite , parallèle à l'axe des s , dont elle est éloignée de la quantité i. L'intervalle entre les ordonnées extrêmes élan! 6 ,
D'INTEGRATION. io5 l'espace a quarrer sera un rectangle =6. La formule (F) deviendra donc
4. ° Supposons , pour deuxième cas particulier , que la ligne \ quarrer est une parabole ordinaire , touchant l'axe des * au milieu de l'intervalle qui sépare les ordonnées extrêmes , et passant par les extrémités supérieures de ces ordonnées, que nous supposerons, comme ci- dessus , égales entre elles et a l'unité.
En supposant , pour un momeat , l'origine transportée au point de contact , et remarquant que l'on doit avoir 1 , lorsqu'on J[ait
jr=+3 , l'équation de cette parabole sera y~ — ; son aire sera
/ydx= f- — = — - qui , prise jusqu'à *=3 , donnera 1 pour la
moitié de la surface dont il s'agit , de manière que cette surface S sera 2.
Au moyen de l'équation y= — , on trouvera de plua
r.=r,=; , d'où r,-hr,=; ;
r,=r«=;. r,+r4=ii
ri=° •
En conséquence , on aura , par la substitution dans la formule (F) ^ a*s2À+\B+iC -, c'est-à-dire ,
5. ° Supposons , poux troisième cas particulier , que la ligne 1 quarrer est une parabole du quatrième degré , assujettie d'ailleurs aux mêmes conditions que la précédente ; en la rapportant à la
même origine , elle aura pour équation / as ~ d où S~f = ~ ;
ce qui donne, entre les limite* +3 et —3, 5=;. On a de plua
r*=r< = i r d'où. y.+yt=z ;
r.=r,=n . d'où r.H-r,=H ;
r.=/.=rr, d'ôà
On aura donc , par la substitution dans la formule (F) i=2A+± B+iiC; c'est-à-dire, KJ ' ^
6. » Prenons enfin pour dernière courbe , et toujours sous les mêmes conditions, la parabole du sixième degré y=— .Nous au-
rons d'abord = ~, ce qui donnera dciinitivcment S='7.
Nous aurons ensuite
n=r,=£;, d'0ù n+r,=fH ;
^»=r4=7h , d'où r^4-..s %>
H viendra donc , en substituant dans la formule (F) i = a^-*^i c'est-à-dire,. V ' ^
3i87=5io3^+4485-t-7C . (4)
7. ° Nous ayons donc , pour déterminer A x B , C , D , les quatre ^» —
desquelles, on tire , par l'élimination,.
— 777 » ** — ■«• » ° — 77. • */— i4. » substituant ces valeurs dans la formule (F) , après avoir multiplié S par 6 , ce qui revient à prendre pour unité l'intervalle qui sépare les ordonnées extrêmes, on aura enfin
84o5=4«(r.4r6)-bi6(ri-b',)+27(r»+r4)+272ri . (fo
On procédera de la môme manière , pour trouver les formules qui doivent correspondre à un autre nombre d'ordonnées ou de divisions de l'intervalle qui sépare les ordonnées extrêmes ; ainsi , par ' exemple , pour 9 ordonnées ou 8 divisions , on emploira les paraboles des z.e , 4-e , 6.e et 8.' degrés , et de plus la parallèle à l'axe des x.
Tout autre système de courbes employé à la recherche des valeurs numériques des cocfficicns , exigerait une élimination plus laborieuse; et les formules auxquelles il conduirait , différentes de celles-ci , seraient en général moins exactes.
II serait sans doute aussi fastidieux que superflu de transcrire ici tous les calculs qui ont servi à former le tableau que nous allons présenter , et qui offre le recueil de toutes les formules qui peuvent être utiles dans la pratique , uniformément déduites du procédé général que nous venons de faire connaître. Cependant , comme celle relative à a5 ordonnées , ou au diviseur a4 est , par son exactitude , la plus importante de toutes , et en même temps la plus longue à trouver , puisqu'elle exige environ 100 heures de calcul; je crois devoir , à son sujet, indiquer brièvement la marche du procédé , afin qu'on puisse facilement , au besoin , la vérifier , ou même la retrouver. Les applications que j'en ai faites à plusieurs exemples , et les résultats que j'en ai obtenus , semblent , au surplus , en garantir suffisamment l'exactitude.
On voit d'abord que la formule doit être de cette forme
S=4(y0+yt4)+B(yl^ti)+C(Yt+rtl)+....+Ny„ ; (F,4) et qu'il faut i3 cas particuliers pour déterminer les i3 coefficiens
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A , B ; C i .~».ï. N. Le premier de ces cas sera , comme ci-dessus r nne droite parallèle à l'axe des x , et distante d'elle d'une quantité égale a l'unité.
On imaginera ensuite une série de paraboles des 2.« , 4/ , 6/, .... 24/ degrés , ayant toutes leur sommet sur l'axe des x , au milieu de 1 Intervalle qui sépare les ordonnées extrêmes , touchant cet axe en ce point , et ayant conséquemmenl leur axe commun parallèle à l'axe des y. Chacune d'elles passera d'ailleurs par les extrémités supérieures des deux ordonnées extrêmes , supposées égales entre elles et à l'unité. En transportant l'origine i ce sommet , les équations de ces paraboles seront
at» x* x1*
En faisant l'intervalle qui sépare les ordonnées extrêmes = a4, on calculera , pour toutes ces paraboles , les valeurs de S , prises entre ces mêmes ordonnées , lesquelles seront , y compris la parallèle a l'axe des x ,
On cilculera enfin, pour ces mêmes paraboles , les i\ UIUUUUcC.-, égales deux à deux. Leur substitution successive , ainsi que celle des valeurs correspondantes de S, dans la formule (F, 4) , conduira aux x3 équations que voici, dont la symétrie est remarquable,
2 A+ 2 B+ 2 C+* ZH- -fa Z-aAf+JV=24, (0
12 \-4+n \B-\-10 *.C-f-9 \D+ -f-3 ,JL+itf=^' , (2)
12 ^+1 1 ♦.«9-Hio ♦.C4-9 *.D+ +a «Z-Mf=^r , (3)
IaT»^^I■IM^-Ho,^C+9"J)+..-.+a,,X+Jf==li,, , (12)
ia»«.4-H i,».^H-io,».C-f9'*.i9-f...^+2>^-f.i»f=H" • (l3)
On éliminera Af, en retranchant successivement (2) de (3), (3)
de
D'INTEGRATION. . i«)
de (4), (4) de (5) , de (i3); il en résultera n équations,
entre lesquelles on éliminera L , en combinant encore deux à deux les équations qui se suivront immédiatement ; on continuera ainsi à éliminer K , I , H , G , ...... , jusqu'à ce qu'on soit parvenu à
lar valeur de A , d'où l'on conclura ensuite, en remontant , celles
de 2? , £ , D , , M ; et on obtiendra enfin celle de TV, au
moyen de l'équation (i). Il faudra ensuite diviser chaque coefficient ou , ce qui revient au môme , multiplier S par 24 » ann <luc l'intcryalle entre les ordonnées extrêmes , que nous avions d'abord supposé égal à ce nombre , devienne égal h l'unité. *
Dans le tableau suivant , l'indice qui accompagne la lettre F désigne le diviseur qui sert de base à la- formule correspondante ; ains'r, l'expression (F6) signifie que l'intervalle i- entre les ordonnées extrêmes yQ et yj , a été partagé en 6 parties égales , ou qu'il y a 7 ordonnées. La lettre S représente toujours /Xdx , c'est-à-dire* l'aire cherchée.
