THÉORÈMES NOUVEAUX
le plan COP ; or , le diamètre de S dont tous les conjuguas sont situés dans Je plan T est aussi un conjugué de / ; donc aussi ce, diamètre est dans le plan COP , et coupe consequemment la droite CP en quelque point Q.
Il demeure donc établi par là que le système de diamètres conjugués dont les directions sont OA , OB , OC , venant à varier d'une manière quelconque , de sorte cependant que l'un d'eux reste fixe , le plau ABC coupera constamment , en un même point fixe , le diamètre de S dont tous les conjugués sont dans le plan T; et, comme il est d'ailleurs connu qu'on peut toujours passer d'un système de diamètres conjugués à un autre quelconque , au moyen de trois transformation* successives telles que , dans chacune d'elles , un des diamètres reste fixe (*) , il s'ensuit que le théorème est complètement démontré.
(*) Cette proportion peut facilement t-tre établie comme il soit.*
Soient A , B , C (rois demi-diamètres conjugués ; et soient A" r B" , C troisentres demi-diamètres conjugues , totalement différent des premiers.
Soit B7 la droit* suivant laquelle se coupent les plans de BC et de k'W et soit O la droite suiraat laquelle se coupent les plans AG" et BC. B7 étant dans le plan BC sera l'un des conjugués de A, qui, réciproquement, sera l'un de* siens * mais, parce que B' est dans le plan A"B" sera aussi l'un des «m. jiigués de C* ; donc , le plan AC sera le plan des conjugues Je B' j puis donc que le plan WC est également le plan des conjugués de A ; il s'ensuit que A» BS C' forme on système de diamètres conjugués , ajanl le demi- diamètre A- commun avec le premier.
Soit A' la droite suivant laquelle se coupent les plans AC et A"B" ; A*' étant le plan des conjugués de C" , et A'C" le plan des conjuguas de B/ ; il s'ensuit que A' , B* , C" Tonnent un système de diamètres conjugués, ayant le diamètre B> commun avec le second.
Enfin , A» , B* , C* est on quatrième système de diamètres conjugués ayant le diamètre C ecKnnmn avec le troisième ; ce qui démontre complètement le proposition annoncée.
On peut déduire bien simplement de ce» considérations une propriété remarquable des diamètres conjugués. Supposons , par exemple, pour fixer les idées, qull «oit question de VtlUpsoïdt ; et considérons les quatre système»
QUESTIONS PROPOSÉES: 99
QUESTIONS PROPOSÉES
Problème de Géométrie,
Couper un cube en deux parties , de telle manière* que li section Tienne se terminer aux diagonales inverses dé deux faces opposées ,
A" , B" , C" nom aurons , pu la propriété connue de l'ellipse^
B^+CsB'+C ,
A^+^ssA^+B" *
ioo QUESTIONS PROPOSÉES.
et que l'aire de cette section, terminée a la surface du cube, soit
un minimum ?
Donner , en outre , l'équation de la courbe suivant laquelle h surface coupante coupe chacune des autres faces de ce cube?
thioreme connu. II ne teraii peut-être pat difficile de démontrer, par Toie , le* deux autrei théorème» relatif* aux diamètrei conjugue».
